Числа и их… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00013707

Что дано: $100$ различных натуральных чисел с суммой $5100$. Ориентир — наименьшая возможная сумма ста различных натуральных чисел: $1+2+\dots+100=\dfrac{100\cdot 101}{2}=5050$. Дана сумма $5100$, то есть на $50$ больше минимума. Этот «запас $50$» — главное.

Пункт а). Может ли быть число $250$? Если $250$ входит, остальные $99$ различны и не равны $250$, их сумма $\geqslant 1+\dots+99=4950$, и вся сумма $\geqslant 250+4950=5200\gt 5100$. Значит — нет.

Пункт б). Можно ли обойтись без числа $11$? Наименьшая сумма ста различных чисел без $11$ — это $1,\dots,10,12,\dots,101$, она равна $5050+(101-11)=5140\gt 5100$. Значит число $11$ обязано присутствовать — нет.

Пункт в). Среди $1,\dots,100$ кратны $11$ девять чисел: $11,22,\dots,99$. От базовой суммы $5050$ надо подняться на $50$, заменяя числа большими. Чтобы убрать кратное, меняем его на некратное число $\gt 100$. Самые дешёвые замены: $99\to 101$ ($+2$), $88\to 102$ ($+14$), $77\to 103$ ($+26$) — вместе $+42$, убрано три кратных. Недостающие $+8$ берём заменой некратного: $100\to 108$. Остаются $9-3=6$ кратных.

Меньше шести нельзя: убрать четыре кратных потребует ещё замены $66\to 104$ (это $+38$), и суммарный рост $42+38=80\gt 50$ — превышает запас. Значит хотя бы $6$ кратных останутся. Наименьшее количество — 6.