Что дано: 100 различных натуральных чисел с суммой 5100. Ориентир — наименьшая возможная сумма ста различных натуральных чисел: 1+2+\dots+100=\dfrac{100\cdot 101}{2}=5050. Дана сумма 5100, то есть на 50 больше минимума. Этот «запас 50» — главное.

Пункт а). Может ли быть число 250? Если 250 входит, остальные 99 различны и не равны 250, их сумма \geqslant 1+\dots+99=4950, и вся сумма \geqslant 250+4950=5200\gt 5100. Значит — нет.

Пункт б). Можно ли обойтись без числа 11? Наименьшая сумма ста различных чисел без 11 — это 1,\dots,10,12,\dots,101, она равна 5050+(101-11)=5140\gt 5100. Значит число 11 обязано присутствовать — нет.

Пункт в). Среди 1,\dots,100 кратны 11 девять чисел: 11,22,\dots,99. От базовой суммы 5050 надо подняться на 50, заменяя числа большими. Чтобы убрать кратное, меняем его на некратное число \gt 100. Самые дешёвые замены: 99\to 101 (+2), 88\to 102 (+14), 77\to 103 (+26) — вместе +42, убрано три кратных. Недостающие +8 берём заменой некратного: 100\to 108. Остаются 9-3=6 кратных.

Меньше шести нельзя: убрать четыре кратных потребует ещё замены 66\to 104 (это +38), и суммарный рост 42+38=80\gt 50 — превышает запас. Значит хотя бы 6 кратных останутся. Наименьшее количество — 6.