Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00013706

Что дано: $11$ различных натуральных чисел. Среднее шести наименьших равно $7$ — значит их сумма $6\cdot 7=42$. Среднее шести наибольших равно $16$ — значит их сумма $6\cdot 16=96$. Расставим по возрастанию: $a_1\lt \dots\lt a_{11}$, тогда $a_1+\dots+a_6=42$ и $a_6+\dots+a_{11}=96$ (число $a_6$ входит в обе шестёрки).

Пункт а). Может ли $a_1=5$? Тогда пять следующих различны и больше $5$, поэтому не меньше $6,7,8,9,10$, и сумма первой шестёрки $\geqslant 5+6+7+8+9+10=45\gt 42$. Противоречие — значит нет.

Пункт б). Может ли среднее всех равняться $10$? Сумма всех одиннадцати равна $42+96-a_6=138-a_6$ ($a_6$ учтён дважды). Если среднее $10$, то сумма $110$, откуда $a_6=28$. Но $a_6$ — наибольшее в первой шестёрке, поэтому $a_6\leqslant 42-(1+2+3+4+5)=27$. Получили $28\gt 27$ — противоречие, значит нет.

Пункт в). $S-B=\dfrac{138-a_6}{11}-a_6=\dfrac{138-12a_6}{11}$ — растёт при уменьшении $a_6$. Оценим $a_6$ снизу: оно наибольшее среди шести различных чисел суммы $42$, поэтому $42\geqslant 6a_6-15$, откуда $a_6\geqslant 9{,}5$, то есть $a_6\geqslant 10$. При $a_6=10$ подходит набор $2,6,7,8,9,10$ (сумма $42$), и $S-B=\dfrac{138-120}{11}=\dfrac{18}{11}$. Наибольшее значение — $\dfrac{18}{11}$.