Что дано: 100 различных натуральных чисел с суммой 5120. Полезный ориентир — самая маленькая возможная сумма ста различных натуральных чисел. Это сумма 1+2+\dots+100=\dfrac{100\cdot 101}{2}=5050. Нам дано 5120, то есть всего на 70 больше минимума. Этот «запас 70» — главный герой задачи.

Пункт а). Может ли быть записано число 230? Если 230 в наборе, остальные 99 чисел различны и не равны 230, поэтому их сумма не меньше 1+2+\dots+99=4950. Тогда вся сумма не меньше 230+4950=5180, а это уже больше 5120. Противоречие — значит нет.

Пункт б). Можно ли обойтись без числа 14? Если 14 не брать, то сто наименьших различных чисел без него — это 1,\dots,13,15,\dots,101. Их сумма: к минимальной 5050 мы вместо 14 добавили 101, то есть 5050+(101-14)=5137. Это уже больше 5120, поэтому без 14 нужную сумму не получить. Значит число 14 обязано быть, обойтись без него нельзя.

Пункт в). Сколько чисел, кратных 14, может быть как минимум? Среди 1,\dots,100 кратны 14 ровно семь: 14,28,42,56,70,84,98. Базовый набор 1,\dots,100 даёт сумму 5050; нам надо поднять её ровно на 70, заменяя какие-то числа большими.

Чтобы убрать кратное 14, заменим его на число больше 100, не кратное 14 (числа 1..100, кроме убранных, уже заняты). Дешевле всего убирать самые большие кратные. Замена 98\to 101 поднимает сумму на 3; 84\to 102 — на 18; 70\to 103 — на 33. Вместе рост 3+18+33=54, и убрано три кратных. До нужных 70 не хватает 16 — добавим их заменой одного некратного: 100\to 116 (рост 16, и 116 не кратно 14). Остаются кратные 14,28,42,56 — их четыре.

Меньше четырёх нельзя. Чтобы убрать сразу четыре кратных, самые дешёвые замены — 98\to 101,\ 84\to 102,\ 70\to 103,\ 56\to 104 — дают рост 3+18+33+48=102, а это больше запаса 70. Значит хотя бы 7-3=4 кратных останутся. Наименьшее количество — 4.