Числа и их… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00013705

Что дано: $100$ различных натуральных чисел с суммой $5120$. Полезный ориентир — самая маленькая возможная сумма ста различных натуральных чисел. Это сумма $1+2+\dots+100=\dfrac{100\cdot 101}{2}=5050$. Нам дано $5120$, то есть всего на $70$ больше минимума. Этот «запас $70$» — главный герой задачи.

Пункт а). Может ли быть записано число $230$? Если $230$ в наборе, остальные $99$ чисел различны и не равны $230$, поэтому их сумма не меньше $1+2+\dots+99=4950$. Тогда вся сумма не меньше $230+4950=5180$, а это уже больше $5120$. Противоречие — значит нет.

Пункт б). Можно ли обойтись без числа $14$? Если $14$ не брать, то сто наименьших различных чисел без него — это $1,\dots,13,15,\dots,101$. Их сумма: к минимальной $5050$ мы вместо $14$ добавили $101$, то есть $5050+(101-14)=5137$. Это уже больше $5120$, поэтому без $14$ нужную сумму не получить. Значит число $14$ обязано быть, обойтись без него нельзя.

Пункт в). Сколько чисел, кратных $14$, может быть как минимум? Среди $1,\dots,100$ кратны $14$ ровно семь: $14,28,42,56,70,84,98$. Базовый набор $1,\dots,100$ даёт сумму $5050$; нам надо поднять её ровно на $70$, заменяя какие-то числа большими.

Чтобы убрать кратное $14$, заменим его на число больше $100$, не кратное $14$ (числа $1..100$, кроме убранных, уже заняты). Дешевле всего убирать самые большие кратные. Замена $98\to 101$ поднимает сумму на $3$; $84\to 102$ — на $18$; $70\to 103$ — на $33$. Вместе рост $3+18+33=54$, и убрано три кратных. До нужных $70$ не хватает $16$ — добавим их заменой одного некратного: $100\to 116$ (рост $16$, и $116$ не кратно $14$). Остаются кратные $14,28,42,56$ — их четыре.

Меньше четырёх нельзя. Чтобы убрать сразу четыре кратных, самые дешёвые замены — $98\to 101,\ 84\to 102,\ 70\to 103,\ 56\to 104$ — дают рост $3+18+33+48=102$, а это больше запаса $70$. Значит хотя бы $7-3=4$ кратных останутся. Наименьшее количество — 4.