Числа и их… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00013703

Что дано: трёхзначное число $A$, $S$ — сумма его цифр. Тот же ключ: $A\equiv S\pmod 9$, поэтому $A\cdot S\equiv S^{2}\pmod 9$, а квадраты по модулю $9$ дают только остатки $0,1,4,7$.

Пункт а). Может ли $A\cdot S=1057$? Разложим $1057=7\cdot 151$; при $S=7$ получаем $A=151$, и сумма цифр $151$ равна $1+5+1=7$. Значит — да.

Пункт б). Может ли $A\cdot S=1058$? Остаток $1058$ по модулю $9$ равен $5$ ($1+0+5+8=14\to 5$), а $S^{2}$ даёт лишь $0,1,4,7$. Числа $5$ нет — значит нет.

Пункт в). Ищем наименьшее значение $A\cdot S$, большее $864$. Числа $865,866,867$ дают по модулю $9$ остатки $1,2,3$; остатки $2,3$ невозможны, а для $1$ ($865$) подходящего $S$ с верной суммой цифр нет. Значение $868=4\cdot 7\cdot 31$ достижимо: при $S=7$ получаем $A=124$, сумма цифр которого $1+2+4=7$. Наименьшее значение, большее $864$, — 868.