Что дано: трёхзначное число A, S — сумма его цифр. Очень полезное свойство: число и сумма его цифр дают одинаковый остаток по модулю 9, то есть A\equiv S\pmod 9. Тогда A\cdot S\equiv S\cdot S=S^{2}\pmod 9. А квадраты по модулю 9 бывают только с остатками 0,1,4,7 — это сразу отсекает многие значения.

Пункт а). Может ли A\cdot S=1105? Здесь S — делитель 1105=5\cdot 13\cdot 17, лежащий в пределах [1;27] (сумма цифр трёхзначного числа): это 5,13,17. При S=5 получаем A=\dfrac{1105}{5}=221, и сумма цифр 221 действительно 2+2+1=5. Значит — да.

Пункт б). Может ли A\cdot S=1106? Остаток 1106 по модулю 9 равен 8 (1+1+0+6=8), а A\cdot S\equiv S^{2} даёт лишь 0,1,4,7. Числа 8 среди них нет — значит нет.

Пункт в). Ищем наименьшее значение A\cdot S, большее 1503. Проверим ближайшие: 1504,1505,1506 дают по модулю 9 остатки 1,2,3. Остатки 2 и 3 невозможны (не квадраты по модулю 9); для остатка 1 (1504) нужно подходящее S\mid 1504 с трёхзначным A и верной суммой цифр — таких нет. Значение 1507=11\cdot 137 достижимо: при S=11 имеем A=137, сумма цифр которого 1+3+7=11. Наименьшее значение, большее 1503, — 1507.