Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00013701

Что происходит: написано $n$ единиц подряд, между некоторыми ставят плюсы и складывают. Плюсы делят единицы на блоки; блок из $k$ единиц — это число $\underbrace{1\dots 1}_{k}$.

Ключ: «значение блока минус его длина» кратно $9$ ($0$ для $1$, $11-2=9$ для $11$, $111-3=108$ для $111$ и так далее). Значит и «сумма минус число единиц» кратна $9$. Отсюда $141-n$ делится на $9$, то есть $n\equiv 141\equiv 6\pmod 9$.

Пункт а). $n=60$? Остаток $60$ при делении на $9$ равен $6$ — годится. Построим: $9$ блоков «$11$» ($18$ единиц, дают $99$) и $42$ отдельные единицы; сумма $99+42=141$, единиц $18+42=60$. Значит — да.

Пункт б). $n=80$? Остаток $80$ при делении на $9$ равен $8$, а нужно $6$. Значит — нет.

Пункт в). Запишем сумму через число блоков «$11$» ($a$ штук) и «$111$» ($b$ штук): $141-n=9a+108b$, при этом отдельных единиц $n-2a-3b\geqslant 0$. Перебирая допустимые $a$ и $b$, получаем ровно $15$ подходящих значений $n$: это $15,24,33,\dots,141$. Подходят 15 значений $n$.