Числа и их… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00013698

Что дано: несколько различных натуральных чисел, причём произведение любых двух больше $25$ и меньше $85$. Расставим числа по возрастанию. Тогда самое маленькое произведение — у двух наименьших, а самое большое — у двух наибольших. Значит достаточно следить за этими двумя «крайними» произведениями.

Пункт а). Может ли быть $5$ чисел? Возьмём $5,6,7,8,9$. Наименьшее произведение $5\cdot 6=30\gt 25$, наибольшее $8\cdot 9=72\lt 85$, а все остальные произведения между ними. Значит — да.

Пункт б). Может ли быть $6$ чисел $a_1\lt \dots\lt a_6$? Из $a_1a_2\gt 25$ следует, что $a_1\geqslant 5$ (если бы $a_1\leqslant 4$, то $a_1a_2\leqslant 4\cdot a_2$, и чтобы превысить $25$, не хватило бы места под остальные). Из $a_5a_6\lt 85$ следует $a_5\leqslant 8$ (ведь $9\cdot 10=90\gt 85$). Тогда пять чисел $a_1\lt \dots\lt a_5$ должны уместиться между $5$ и $8$ — а это всего четыре значения $5,6,7,8$. Пяти различных там нет, тем более шести. Значит — нет.

Пункт в). Найдём наибольшую сумму, если чисел четыре. Чтобы сумма была побольше, старший элемент берём как можно выше, пока произведения остаются меньше $85$. Возьмём $6,7,8,10$: произведения $42,48,60,56,70,80$ — все в промежутке $(25;85)$, а сумма $6+7+8+10=31$. Больше нельзя: уже $8\cdot 11=88\gt 85$. Наибольшая сумма — 31.