Числа и их… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00013697

Все числа различны, и произведение любых двух из них больше $40$ и меньше $100$. Если расположить числа по возрастанию, условие удобно читать так: произведение двух самых маленьких больше $40$, а двух самых больших — меньше $100$.

Пункт а). Может ли быть $5$ чисел? Да. Подойдёт набор $6,7,8,9,10$: самое маленькое произведение $6\cdot 7=42\gt 40$, самое большое $9\cdot 10=90\lt 100$, а все остальные произведения лежат между ними.

Пункт б). Может ли быть $6$ чисел $a_1\lt a_2\lt\dots\lt a_6$? Из условия $a_1 a_2\gt 40$ оба наименьших не меньше $6$ (ведь $5\cdot 8=40$ уже не больше $40$), значит $a_1\geqslant 6$. Из $a_5 a_6\lt 100$ получаем $a_5\leqslant 9$. Тогда пять чисел $a_1\lt\dots\lt a_5$ должны уместиться между $6$ и $9$ — а это всего четыре целых числа $6,7,8,9$. Пяти различных там нет, поэтому шести чисел быть не может.

Пункт в). Найдём наибольшую сумму четырёх таких чисел. Чтобы сумма была больше, числа надо брать побольше, но мешает условие на наибольшее произведение: $a_3 a_4\lt 100$.

Попробуем взять самые большие подходящие числа. Набор $7,8,9,11$ годится: проверим произведения — $7\cdot 8=56$, $7\cdot 9=63$, $7\cdot 11=77$, $8\cdot 9=72$, $8\cdot 11=88$, $9\cdot 11=99$. Все они больше $40$ и меньше $100$. Сумма равна $7+8+9+11=35$.

Больше получить нельзя: если попробовать увеличить любое число, наибольшее произведение перешагнёт $100$ (например, $8\cdot 11=88$, но уже $9\cdot 11=99$ — у самой границы, а $8\cdot 12=96$ при $10\cdot 12\gt 100$). Поэтому наибольшая возможная сумма равна $35$.