Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00013695

Что дано: $30$ различных натуральных чисел, каждое либо оканчивается на $9$, либо чётное; сумма равна $877$. Пусть $p$ чисел оканчиваются на $9$ (они нечётные), $q=30-p$ чётные.

Посмотрим на чётность. Чётные дают чётный вклад, оканчивающиеся на $9$ — нечётный, поэтому чётность суммы совпадает с чётностью $p$. Сумма $877$ нечётна, значит $p$ нечётно.

Пункт а). Может ли быть $27$ чётных ($q=27$, $p=3$)? $p=3$ нечётно — годится. Проверим суммой: $9+19+29=57$ и $2+4+\dots+54=756$, всего $813\leqslant 877$. Остаток $64$ добираем. Значит — да.

Пункт б). Может ли быть ровно два числа на $9$ ($p=2$)? Но $p$ обязано быть нечётным, а $2$ чётно. Значит — нет.

Пункт в). Найдём наименьшее $p$. Наименьшая сумма при данном $p$ (это $p$ наименьших на $9$ и $30-p$ наименьших чётных) равна $6p^{2}-57p+930$. Требуем $\leqslant 877$: $6p^{2}-57p+53\leqslant 0$, откуда $p\geqslant 2$ (примерно от $1$ до $8$). С учётом нечётности $p$ наименьшее — $p=3$ (минимум $813\leqslant 877$), а при $p=1$ минимум $879\gt 877$ невозможен. Наименьшее количество — 3.