ID: 00013693
На доске написано трёхзначное число A. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число B, затем Коля записывает число A и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число C.
а) Может ли быть верным уравнение A = B⋅C если A > 140?
б) Может ли быть верным уравнение A = B⋅C если 440 ≤ A < 500?
в) Найдите наибольшее число A до 900 для которого выполняется A = B⋅C
Источник: ФИПИ
Что происходит: из трёхзначного A вычёркиванием одной цифры получают двузначные B и C (можно одну и ту же позицию). Нужно A=B\cdot C.
Пункт а). Может ли A\gt 140? Да. Возьмём A=160: вычёркивая 6, получаем 10; вычёркивая 0, получаем 16. Тогда 16\cdot 10=160\gt 140. Значит — да.
Пункт б). Может ли 440\leqslant A\lt 500? Тогда цифра сотен 4, A=\overline{4xy}. Если бы оба множителя были вида \overline{4x},\overline{4y} (каждое \geqslant 40), произведение было бы \geqslant 1600\gt A. Значит один множитель — это \overline{xy}=10x+y, и он делит A=400+10x+y, а значит делит 400. Двузначные делители 400 — 10,16,20,25,40,50,80; перебор не даёт A в промежутке [440;500). Значит — нет.
Пункт в). Ищем наибольшее A меньше 900. Возьмём A=810: вычёркивая 8, получаем 10; вычёркивая 0, получаем 81; и 81\cdot 10=810. Большего значения до 900 нет — перебор обрезков показывает, что максимум на 810. Наибольшее число — 810.
а) да; б) нет; в) 810