Задание 20 ЕГЭ по математике №00013693

Что происходит: из трёхзначного $A$ вычёркиванием одной цифры получают двузначные $B$ и $C$ (можно одну и ту же позицию). Нужно $A=B\cdot C$.

Пункт а). Может ли $A\gt 140$? Да. Возьмём $A=160$: вычёркивая $6$, получаем $10$; вычёркивая $0$, получаем $16$. Тогда $16\cdot 10=160\gt 140$. Значит — да.

Пункт б). Может ли $440\leqslant A\lt 500$? Тогда цифра сотен $4$, $A=\overline{4xy}$. Если бы оба множителя были вида $\overline{4x},\overline{4y}$ (каждое $\geqslant 40$), произведение было бы $\geqslant 1600\gt A$. Значит один множитель — это $\overline{xy}=10x+y$, и он делит $A=400+10x+y$, а значит делит $400$. Двузначные делители $400$ — $10,16,20,25,40,50,80$; перебор не даёт $A$ в промежутке $[440;500)$. Значит — нет.

Пункт в). Ищем наибольшее $A$ меньше $900$. Возьмём $A=810$: вычёркивая $8$, получаем $10$; вычёркивая $0$, получаем $81$; и $81\cdot 10=810$. Большего значения до $900$ нет — перебор обрезков показывает, что максимум на $810$. Наибольшее число — 810.