ID: 00013693
На доске написано трёхзначное число A. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число B, затем Коля записывает число A и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число C.
а) Может ли быть верным уравнение A = B⋅C если A > 140?
б) Может ли быть верным уравнение A = B⋅C если 440 ≤ A < 500?
в) Найдите наибольшее число A до 900 для которого выполняется A = B⋅C
Источник: ФИПИ
Что происходит: из трёхзначного $A$ вычёркиванием одной цифры получают двузначные $B$ и $C$ (можно одну и ту же позицию). Нужно $A=B\cdot C$.
Пункт а). Может ли $A\gt 140$? Да. Возьмём $A=160$: вычёркивая $6$, получаем $10$; вычёркивая $0$, получаем $16$. Тогда $16\cdot 10=160\gt 140$. Значит — да.
Пункт б). Может ли $440\leqslant A\lt 500$? Тогда цифра сотен $4$, $A=\overline{4xy}$. Если бы оба множителя были вида $\overline{4x},\overline{4y}$ (каждое $\geqslant 40$), произведение было бы $\geqslant 1600\gt A$. Значит один множитель — это $\overline{xy}=10x+y$, и он делит $A=400+10x+y$, а значит делит $400$. Двузначные делители $400$ — $10,16,20,25,40,50,80$; перебор не даёт $A$ в промежутке $[440;500)$. Значит — нет.
Пункт в). Ищем наибольшее $A$ меньше $900$. Возьмём $A=810$: вычёркивая $8$, получаем $10$; вычёркивая $0$, получаем $81$; и $81\cdot 10=810$. Большего значения до $900$ нет — перебор обрезков показывает, что максимум на $810$. Наибольшее число — 810.
а) да; б) нет; в) 810