ID: 00013686
В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 21%.
а) Может ли в этом классе быть 5 девочек?
б) Может ли доля девочек составить 30%, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?
Источник: ФИПИ
Что дано: в классе $b$ учащихся, причём $10\lt b\leqslant 26$, среди них $a$ девочек, и доля девочек $\dfrac{a}{b}\leqslant 0{,}21$ (то есть не больше $21\%$).
Пункт а). Может ли быть $5$ девочек? Возьмём класс из $25$ человек, в нём $5$ девочек: доля $\dfrac{5}{25}=0{,}2\leqslant 0{,}21$, и $10\lt 25\leqslant 26$. Всё подходит — значит да.
Пункт б). Может ли после прихода одной новой девочки доля стать ровно $30\%$? Доля $30\%=\dfrac{3}{10}$ означает, что число учащихся делится на $10$; в наших пределах (после прихода стало $b+1$) это $20$. Тогда после прихода $20$ человек и $6$ девочек, а до прихода было $19$ человек и $5$ девочек. Но $\dfrac{5}{19}\approx 0{,}263\gt 0{,}21$ — это нарушает исходное условие. Значит — нет.
Пункт в). После прихода новой девочки доля равна $\dfrac{a+1}{b+1}$. Оценим её сверху: $\dfrac{a+1}{b+1}\lt \dfrac{a}{b}+\dfrac{1}{b+1}\leqslant 0{,}21+\dfrac{1}{11}\lt 0{,}31$. Значит доля меньше $31\%$. А $30\%$, как мы показали в пункте б, недостижимо.
Остаются целые проценты не больше $29$. Наибольший достижимый — $25\%$. Он получается так: до прихода $b=11$, $a=2$ (доля $\dfrac{2}{11}\approx 0{,}18\leqslant 0{,}21$), после прихода девочки $\dfrac{3}{12}=\dfrac14=25\%$. Наибольшая доля — 25\%.
а) да; б) нет; в) 25