Задание 19 ЕГЭ по математике: Есть 24 монеты по 2 рубля и 30 монет по 5 рублей. а) Можно ли…

№2. Задание 19

ID: 00013683

Есть 24 монеты по 2 рубля и 30 монет по 5 рублей.

а)  Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 196?

б)  Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 197?

в)  Какое наименьшее количество монеток по 1 рублю нужно добавить в набор, чтобы можно было получить любую целую сумму от 1 до 200 включительно.

Источник: ФИПИ

Решение

Что дано: $24$ монеты по $2$ рубля и $30$ монет по $5$ рублей. Набираемая сумма имеет вид $2x+5y$ , где $0\leqslant x\leqslant 24$ (двушки) и $0\leqslant y\leqslant 30$ (пятёрки). Самая большая сумма без рублёвых монет — $2\cdot 24+5\cdot 30=48+150=198$ .

Пункт а). Набрать $196$ ? Возьмём все $30$ пятёрок ( $150$ ) и $23$ двушки ( $46$ ): $150+46=196$ . Значит — да.

Пункт б). Набрать $197$ ? Нужно $2x+5y=197$ . Тогда $5y=197-2x$ делится на $5$ , поэтому $2x\equiv 197\equiv 2\pmod 5$ , откуда $x\equiv 1\pmod 5$ , то есть $x\in\{1,6,11,16,21\}$ . При них $y=\dfrac{197-2x}{5}\in\{39,37,35,33,31\}$ — все больше $30$ . Подходящего набора нет, значит — нет.

Пункт в). Чтобы набирать любую сумму от $1$ до $200$ , надо как минимум дойти до $200$ . Без рублёвых максимум $198$ , не хватает $200-198=2$ рублей — значит рублёвых монет нужно хотя бы $2$ .

Двух единиц хватает: суммы $1$ и $2$ они дают напрямую, а любую другую сумму до $200$ — двушки и пятёрки плюс, если надо, одна-две единицы для «подгонки». Поэтому все суммы от $1$ до $200$ покрываются. Наименьшее число рублёвых монет — 2.

Ответ

а) да; б) нет; в) 2