Числа и их… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00013681

Что дано: по кругу стоят $N$ различных натуральных чисел, каждое $\leqslant 425$. Сумма любых четырёх подряд делится на $4$, а сумма любых трёх подряд нечётна. Вытащим, какими могут быть числа.

Из «сумма трёх подряд нечётна»: соседние такие суммы $a_i+a_{i+1}+a_{i+2}$ и $a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}$ обе нечётны, значит их разность $a_i-a_{i+3}$ чётна — числа через $3$ одной чётности. Из «сумма четырёх подряд кратна $4$»: вычитая соседние, получаем $a_i\equiv a_{i+4}\pmod 4$. Чётность повторяется и с шагом $3$, и с шагом $4$ — а это значит, что она вообще постоянна. Так как сумма трёх нечётна, все числа нечётные.

Нечётных чисел, не превосходящих $425$, всего $213$ (это $1,3,\dots,425$). Из них с остатком $1$ по модулю $4$ — $107$ штук ($1,5,\dots,425$), с остатком $3$ — $106$ штук ($3,7,\dots,423$).

Пункт а). Может ли $N=280$? Различных нечётных чисел всего $213$, а $280\gt 213$. Значит — нет.

Пункт б). Может ли $N=149$? Шаги по $4$ при взаимно простых $4$ и $149$ обходят весь круг, поэтому все числа имеют один остаток по модулю $4$ — а таких не больше $107$. Так как $149\gt 107$ — нет.

Пункт в). Чтобы $N$ было побольше, нужно использовать оба остатка $1$ и $3$ по модулю $4$ — это возможно при $N$, кратном $2$, но не $4$. Тогда на части позиций стоят числа с остатком $1$, на остальных — с остатком $3$. Сумма четырёх подряд $\equiv 2\cdot 1+2\cdot 3=8\equiv 0\pmod 4$, сумма трёх нечётна — всё годится. Чисел с остатком $3$ всего $106$, поэтому $N\leqslant 212$. Набор из $106$ чисел остатка $1$ и $106$ остатка $3$ (всего $212$) такой круг даёт. Наибольшее $N$ — 212.