Задание 19 ЕГЭ по математике: Есть 4 камня по 5 кг и 13 камней по 14 кг. Их разделили на 2…

№2. Задание 19

ID: 00013679

Есть 4 камня по 5 кг и 13 камней по 14 кг. Их разделили на 2 кучки

а) Может ли разность масс двух этих кучек камней быть равна 6 кг?

б) Могут ли массы двух этих кучек быть равны?

в) Какая наименьшая положительная разность масс может быть у двух этих кучек камней.

Источник: ФИПИ

Решение

Что дано: $4$ камня по $5$ кг и $13$ камней по $14$ кг, их делят на две кучки. Общая масса $4\cdot 5+13\cdot 14=20+182=202$ кг.

Если в одной кучке масса $g$ , то в другой $202-g$ , а разность кучек равна $|202-2g|$ . При этом $g=5x+14y$ , где $0\leqslant x\leqslant 4$ и $0\leqslant y\leqslant 13$ .

Пункт а). Разность $6$ кг? Нужно $g=98$ или $g=104$ . Берём $g=98=14\cdot 7$ — достижимо, и $|202-196|=6$ . Значит — да.

Пункт б). Поровну (разность $0$ )? Тогда $g=101$ . Решаем $5x+14y=101$ при $x\leqslant 4$ , $y\leqslant 13$ : перебор по $y$ не даёт допустимого целого $x$ . Значит $101$ не собрать — нет.

Пункт в). Ищем наименьшую положительную разность $|202-2g|$ , то есть достижимое $g$ , ближайшее к $101$ . Само $101$ недостижимо. Ближайшие достижимые: $g=99=14\cdot 6+5\cdot 3$ (разность $|202-198|=4$ ) и $g=103=14\cdot 7+5\cdot 1$ (разность $|202-206|=4$ ). Значений $100$ и $102$ как $5x+14y$ при таких ограничениях нет. Наименьшая положительная разность — 4 кг.

Ответ

а) да; б) нет; в) 4 кг