Числа и их… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00013679

Что дано: $4$ камня по $5$ кг и $13$ камней по $14$ кг, их делят на две кучки. Общая масса $4\cdot 5+13\cdot 14=20+182=202$ кг.

Если в одной кучке масса $g$, то в другой $202-g$, а разность кучек равна $|202-2g|$. При этом $g=5x+14y$, где $0\leqslant x\leqslant 4$ и $0\leqslant y\leqslant 13$.

Пункт а). Разность $6$ кг? Нужно $g=98$ или $g=104$. Берём $g=98=14\cdot 7$ — достижимо, и $|202-196|=6$. Значит — да.

Пункт б). Поровну (разность $0$)? Тогда $g=101$. Решаем $5x+14y=101$ при $x\leqslant 4$, $y\leqslant 13$: перебор по $y$ не даёт допустимого целого $x$. Значит $101$ не собрать — нет.

Пункт в). Ищем наименьшую положительную разность $|202-2g|$, то есть достижимое $g$, ближайшее к $101$. Само $101$ недостижимо. Ближайшие достижимые: $g=99=14\cdot 6+5\cdot 3$ (разность $|202-198|=4$) и $g=103=14\cdot 7+5\cdot 1$ (разность $|202-206|=4$). Значений $100$ и $102$ как $5x+14y$ при таких ограничениях нет. Наименьшая положительная разность — 4 кг.