ID: 00013678
Есть 4 камня по 7 тонн и 9 камней по 22 тонны.
а) Можно ли разложить камни на 2 группы так, чтобы разность сумм масс камней обеих групп была равна 8 тоннам?
б) Можно ли разложить камни на 2 группы так, чтобы сумма масс камней обеих групп была одинаковой?
в) Все камни хотят разложить на 2 группы. Какое наименьшее положительное значение (в тоннах) может принимать разность суммарных масс камней в этих группах?
Источник: ФИПИ
Что дано: $4$ камня по $7$ тонн и $9$ камней по $22$ тонны. Их раскладывают на две группы. Сначала посчитаем всё вместе: общая масса $4\cdot 7+9\cdot 22=28+198=226$ тонн.
Если в одной группе масса $g$, то в другой $226-g$, а разность групп равна $|226-2g|$. При этом $g$ складывается из камней, то есть имеет вид $g=7x+22y$, где $0\leqslant x\leqslant 4$ (сколько взяли семёрок) и $0\leqslant y\leqslant 9$ (сколько двадцатидвоек).
Пункт а). Разность $8$ тонн? Нужно $|226-2g|=8$, то есть $g=109$ или $g=117$. Проверим $109$: $109=7\cdot 3+22\cdot 4$ (три семёрки и четыре двадцатидвойки) — это набираемо. Значит — да.
Пункт б). Поровну (разность $0$)? Тогда $g=113$. Решаем $7x+22y=113$ при $x\leqslant 4$, $y\leqslant 9$. Перебираем $y=0,1,\dots,5$: ни при одном остаток $113-22y$ не делится на $7$ с допустимым $x\leqslant 4$. Значит $113$ собрать нельзя, поровну разделить — нет.
Пункт в). Ищем наименьшую положительную разность $|226-2g|$, то есть достижимое $g$, как можно ближе к $113$. Само $113$ недостижимо. Ближайшие достижимые суммы: $g=110=22\cdot 5$ (разность $|226-220|=6$) и $g=116=22\cdot 4+7\cdot 4$ (разность $|226-232|=6$). Промежуточные значения $111,112,114,115$ как $7x+22y$ не получаются. Наименьшая положительная разность — 6 тонн.
а) да; б) нет; в) 6 тонн