ID: 00013677
Есть три коробки: в первой коробке 64 камня, во второй - 77, а в третьей коробке камней нет. За один ход разрешается взять по камню из двух коробок и положить в оставшуюся.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 64 камня, во второй - 59, а в третьей - 18?
б) Мог ли в третьей коробке оказаться 141 камень?
в) В первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Источник: ФИПИ
Что происходит: в коробках $64$, $77$ и $0$ камней. За ход берут по камню из двух коробок и кладут оба в третью. Общее число камней $64+77+0=141$ не меняется.
Найдём инвариант. За ход одна коробка получает $+2$, две теряют по $-1$, а по модулю $3$ это одно и то же ($+2\equiv -1$). Значит все три числа за ход уменьшаются на $1$ по модулю $3$, и попарные разности количеств по модулю $3$ сохраняются. Начальные остатки $(64,77,0)\equiv(1,2,0)\pmod 3$.
Пункт а). Можно ли получить $(64,59,18)$? Сумма $64+59+18=141$ — верно. Остатки: $64\equiv 1$, $59\equiv 2$, $18\equiv 0$, то есть $(1,2,0)$ — те же, что вначале. Значит — да.
Пункт б). Может ли в третьей коробке быть $141$? Тогда состояние $(0,0,141)$. Но разность первых двух коробок вначале $64-77\equiv -13\equiv 2\pmod 3$, а здесь $0-0=0$. Не совпадает — значит нет.
Пункт в). В первой коробке $1$ камень, во второй и третьей вместе $140$. Чтобы в третьей было побольше, во второй — поменьше. Разность $1-b_2\equiv 2\pmod 3$ даёт $b_2\equiv 2\pmod 3$, наименьшее $b_2=2$. Тогда в третьей $140-2=138$. Наибольшее число — 138.
а) да; б) нет; в) 138