Задание 19 ЕГЭ по математике №00013675

Что происходит: в коробках $97$, $104$ и $0$ камней. За ход берут по камню из двух коробок и кладут оба в третью: две коробки теряют по камню, одна получает два. Общее число камней $97+104+0=201$ при этом не меняется.

Найдём то, что сохраняется (инвариант). При каждом ходе одна коробка меняется на $+2$, две — на $-1$. По модулю $3$ это одно и то же: $+2\equiv -1\pmod 3$. То есть все три числа за ход уменьшаются на $1$ по модулю $3$ одновременно. А значит попарные разности количеств камней по модулю $3$ не меняются. Начальные остатки: $(97,104,0)\equiv(1,2,0)\pmod 3$.

Пункт а). Можно ли получить $(97,89,15)$? Сумма $97+89+15=201$ — верно. Остатки: $97\equiv 1$, $89\equiv 2$, $15\equiv 0$, то есть $(1,2,0)$ — те же, что вначале, попарные разности сохранены. Значит — да.

Пункт б). Может ли в третьей коробке оказаться $201$? Тогда остальные пусты: состояние $(0,0,201)$. Проверим разность первых двух коробок: вначале $97-104\equiv -7\equiv 2\pmod 3$, а в состоянии $(0,0,201)$ она равна $0-0=0$. Не совпадает — значит нет.

Пункт в). В первой коробке стал $1$ камень; во второй и третьей вместе $200$. Чтобы в третьей было побольше, во второй должно быть как можно меньше. Разность первой и второй обязана по модулю $3$ равняться $2$: $1-b_2\equiv 2\pmod 3$, откуда $b_2\equiv -1\equiv 2\pmod 3$. Наименьшее подходящее $b_2=2$. Тогда в третьей $200-2=198$ камней. Наибольшее число — 198.