ID: 00013673
Решите неравенство
$\log_{5}\left( 3x + 1\right)$ + $\log_{5}\left(\dfrac{1}{72x^{2}}+1 \right)$ $\geq$ $\log_{5}\left( \dfrac{1}{24x}+1\right)$
Источник: ФИПИ
Слева — сумма двух логарифмов с одинаковым основанием $5$. Такую сумму можно свернуть в один логарифм (логарифм произведения), а потом сравнить то, что стоит под логарифмами.
Сначала область определения: под каждым логарифмом должно быть положительное число. Условия $3x+1\gt 0$, $\dfrac{1}{72x^{2}}+1\gt 0$ (верно при любом $x\ne 0$) и $\dfrac{1}{24x}+1\gt 0$. Последнее переписывается как $\dfrac{1+24x}{24x}\gt 0$ и даёт $x\gt 0$ либо $x\lt -\dfrac{1}{24}$. Собирая всё вместе, получаем $x\in\left(-\dfrac13;-\dfrac1{24}\right)\cup(0;+\infty)$.
Сворачиваем левую часть: $\log_5(3x+1)+\log_5\!\left(\dfrac{1}{72x^{2}}+1\right)=\log_5\!\left((3x+1)\cdot\dfrac{1+72x^{2}}{72x^{2}}\right)$. Основание $5\gt 1$, поэтому у логарифмов «больше аргумент — больше сам логарифм», и от неравенства логарифмов можно перейти к неравенству того, что под ними:
$$(3x+1)\cdot\dfrac{1+72x^{2}}{72x^{2}}\geqslant \dfrac{1+24x}{24x}.$$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на положительное число $72x^{2}$ (знак не меняется). Справа выходит $3x(1+24x)=3x+72x^{2}$, слева после раскрытия скобок — $216x^{3}+72x^{2}+3x+1$.
Переносим всё влево: $72x^{2}$ и $3x$ взаимно уничтожаются, остаётся на удивление простое неравенство:
$$216x^{3}+1\geqslant 0,\qquad x^{3}\geqslant -\dfrac1{216},\qquad x\geqslant -\dfrac16.$$
Последний шаг — пересечь с областью определения. На куске $\left(-\dfrac13;-\dfrac1{24}\right)$ условие $x\geqslant-\dfrac16$ оставляет $\left[-\dfrac16;-\dfrac1{24}\right)$; кусок $(0;+\infty)$ входит целиком.
$\left[ -\dfrac{1}{6} ; -\dfrac{1}{24} \right)$ $\bigcup$ $\left( 0 ; +\infty\right)$