Слева — сумма двух логарифмов с одинаковым основанием 5. Такую сумму можно свернуть в один логарифм (логарифм произведения), а потом сравнить то, что стоит под логарифмами.

Сначала область определения: под каждым логарифмом должно быть положительное число. Условия 3x+1\gt 0, \dfrac{1}{72x^{2}}+1\gt 0 (верно при любом x\ne 0) и \dfrac{1}{24x}+1\gt 0. Последнее переписывается как \dfrac{1+24x}{24x}\gt 0 и даёт x\gt 0 либо x\lt -\dfrac{1}{24}. Собирая всё вместе, получаем x\in\left(-\dfrac13;-\dfrac1{24}\right)\cup(0;+\infty).

Сворачиваем левую часть: \log_5(3x+1)+\log_5\!\left(\dfrac{1}{72x^{2}}+1\right)=\log_5\!\left((3x+1)\cdot\dfrac{1+72x^{2}}{72x^{2}}\right). Основание 5\gt 1, поэтому у логарифмов «больше аргумент — больше сам логарифм», и от неравенства логарифмов можно перейти к неравенству того, что под ними:

(3x+1)\cdot\dfrac{1+72x^{2}}{72x^{2}}\geqslant \dfrac{1+24x}{24x}.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на положительное число 72x^{2} (знак не меняется). Справа выходит 3x(1+24x)=3x+72x^{2}, слева после раскрытия скобок — 216x^{3}+72x^{2}+3x+1.

Переносим всё влево: 72x^{2} и 3x взаимно уничтожаются, остаётся на удивление простое неравенство:

216x^{3}+1\geqslant 0,\qquad x^{3}\geqslant -\dfrac1{216},\qquad x\geqslant -\dfrac16.

Последний шаг — пересечь с областью определения. На куске \left(-\dfrac13;-\dfrac1{24}\right) условие x\geqslant-\dfrac16 оставляет \left[-\dfrac16;-\dfrac1{24}\right); кусок (0;+\infty) входит целиком.