ID: 00013672
С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 201?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 251?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 600 до 999 включительно?
Источник: ФИПИ
Что происходит: из трёхзначного числа вычитают сумму его цифр, а разность делят на 3. Запишем N=100a+10b+c, сумма цифр S=a+b+c.
Упростим: N-S=99a+9b=9(11a+b), поэтому результат \dfrac{N-S}{3}=3(11a+b). Он всегда кратен 3 и зависит только от цифр сотен и десятков.
Пункт а). Может ли получиться 201? Нужно 3(11a+b)=201, то есть 11a+b=67. Подходит a=6, b=1 (например, из N=610 выходит \dfrac{610-7}{3}=201). Значит — да.
Пункт б). Может ли получиться 251? Результат всегда кратен 3, а 251 на 3 не делится (2+5+1=8). Значит — нет.
Пункт в). Для чисел от 600 до 999 цифра сотен a равна 6,7,8,9. При фиксированном a величина 11a+b пробегает десять подряд идущих чисел 11a,\dots,11a+9, и соседние блоки не пересекаются (между 11a+9 и 11(a+1)=11a+11 есть пропуск). Поэтому различных результатов 4\cdot 10=40. Ответ — 40.
а) да; б) нет; в) 40