ID: 00013672
С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 201?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 251?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 600 до 999 включительно?
Источник: ФИПИ
Что происходит: из трёхзначного числа вычитают сумму его цифр, а разность делят на $3$. Запишем $N=100a+10b+c$, сумма цифр $S=a+b+c$.
Упростим: $N-S=99a+9b=9(11a+b)$, поэтому результат $\dfrac{N-S}{3}=3(11a+b)$. Он всегда кратен $3$ и зависит только от цифр сотен и десятков.
Пункт а). Может ли получиться $201$? Нужно $3(11a+b)=201$, то есть $11a+b=67$. Подходит $a=6$, $b=1$ (например, из $N=610$ выходит $\dfrac{610-7}{3}=201$). Значит — да.
Пункт б). Может ли получиться $251$? Результат всегда кратен $3$, а $251$ на $3$ не делится ($2+5+1=8$). Значит — нет.
Пункт в). Для чисел от $600$ до $999$ цифра сотен $a$ равна $6,7,8,9$. При фиксированном $a$ величина $11a+b$ пробегает десять подряд идущих чисел $11a,\dots,11a+9$, и соседние блоки не пересекаются (между $11a+9$ и $11(a+1)=11a+11$ есть пропуск). Поэтому различных результатов $4\cdot 10=40$. Ответ — 40.
а) да; б) нет; в) 40