ID: 00013671
С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно?
Источник: ФИПИ
Что происходит: из трёхзначного числа вычитают сумму его цифр, а разность делят на $3$. Запишем число как $N=100a+10b+c$ (сотни $a$, десятки $b$, единицы $c$), сумма цифр $S=a+b+c$.
Упростим результат операции. Разность $N-S=100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b=9(11a+b)$. Делим на $3$:
$$\dfrac{N-S}{3}=\dfrac{9(11a+b)}{3}=3(11a+b).$$
Вывод сразу важный: результат всегда кратен $3$ и зависит только от цифр сотен и десятков (единица $c$ выпадает).
Пункт а). Может ли получиться $300$? Нужно $3(11a+b)=300$, то есть $11a+b=100$. Подходит $a=9$, $b=1$ (тогда $99+1=100$). Например, из $N=910$ получаем $3\cdot 100=300$. Значит — да.
Пункт б). Может ли получиться $151$? Результат всегда кратен $3$, а $151$ на $3$ не делится (сумма цифр $1+5+1=7$). Значит — нет.
Пункт в). Сколько разных результатов выходит из чисел от $100$ до $600$? Результат равен $3(11a+b)$, поэтому достаточно посчитать, сколько различных значений принимает $11a+b$. У чисел $100\dots 599$ цифра сотен $a$ равна $1,2,3,4,5$, а $b$ — любая из $0,\dots,9$; ещё отдельно число $600$ даёт $a=6,\ b=0$.
При фиксированном $a$ величина $11a+b$ пробегает десять подряд идущих чисел $11a,11a+1,\dots,11a+9$. Соседние блоки не пересекаются: блок при $a$ кончается на $11a+9$, а следующий начинается с $11(a+1)=11a+11$ — между ними дырка. Значит при $a=1,\dots,5$ это $5\cdot 10=50$ разных значений, плюс одно при $a=6$ (число $66$). Всего 51 различное число.
а) да; б) нет; в) 51