Слева стоят разность и в условии есть и сумма логарифмов с основанием 3. Соберём левую часть в один логарифм, сравним аргументы, а получившуюся дробь решим методом интервалов. Сначала — область определения.

Под логарифмами всё положительно: \dfrac1x+2\gt 0 (это x\gt 0 или x\lt -\tfrac12), x+5\gt 0 и \dfrac{x+4}{x^{2}}\gt 0 (это x\gt -4, x\ne 0). Пересечение даёт x\in(-4;-\tfrac12)\cup(0;+\infty).

Сворачиваем левую часть в один логарифм: \log_3\dfrac{\frac1x+2}{x+5}=\log_3\dfrac{1+2x}{x(x+5)}. Основание 3\gt 1, поэтому переходим к сравнению того, что под логарифмами:

\dfrac{1+2x}{x(x+5)}\geqslant \dfrac{x+4}{x^{2}}.

Переносим всё в левую часть и приводим к общему знаменателю x^{2}(x+5). В числителе получаем x(1+2x)-(x+4)(x+5)=2x^{2}+x-(x^{2}+9x+20)=x^{2}-8x-20. Это раскладывается как (x-10)(x+2):

\dfrac{(x-10)(x+2)}{x^{2}(x+5)}\geqslant 0.

Множитель x^{2} всегда положителен, на знак дроби он не влияет — можно мысленно убрать. Остаётся \dfrac{(x-10)(x+2)}{x+5}\geqslant 0. Нули числителя x=-2 и x=10 входят (там дробь равна нулю), точка x=-5 выколота.

Накладываем область определения и получаем x\in(-4;-2]\cup[10;+\infty).