ID: 00013670
Решите неравенство
$\log_{3}\left(\dfrac{1}{x}+2 \right)$ - $\log_{3}\left(x + 5 \right)$ $\geq$ $\log_{3}\left(\dfrac{x+4}{x^{2}} \right)$
Источник: ФИПИ
Слева стоят разность и в условии есть и сумма логарифмов с основанием $3$. Соберём левую часть в один логарифм, сравним аргументы, а получившуюся дробь решим методом интервалов. Сначала — область определения.
Под логарифмами всё положительно: $\dfrac1x+2\gt 0$ (это $x\gt 0$ или $x\lt -\tfrac12$), $x+5\gt 0$ и $\dfrac{x+4}{x^{2}}\gt 0$ (это $x\gt -4$, $x\ne 0$). Пересечение даёт $x\in(-4;-\tfrac12)\cup(0;+\infty)$.
Сворачиваем левую часть в один логарифм: $\log_3\dfrac{\frac1x+2}{x+5}=\log_3\dfrac{1+2x}{x(x+5)}$. Основание $3\gt 1$, поэтому переходим к сравнению того, что под логарифмами:
$$\dfrac{1+2x}{x(x+5)}\geqslant \dfrac{x+4}{x^{2}}.$$
Переносим всё в левую часть и приводим к общему знаменателю $x^{2}(x+5)$. В числителе получаем $x(1+2x)-(x+4)(x+5)=2x^{2}+x-(x^{2}+9x+20)=x^{2}-8x-20$. Это раскладывается как $(x-10)(x+2)$:
$$\dfrac{(x-10)(x+2)}{x^{2}(x+5)}\geqslant 0.$$
Множитель $x^{2}$ всегда положителен, на знак дроби он не влияет — можно мысленно убрать. Остаётся $\dfrac{(x-10)(x+2)}{x+5}\geqslant 0$. Нули числителя $x=-2$ и $x=10$ входят (там дробь равна нулю), точка $x=-5$ выколота.
Накладываем область определения и получаем $x\in(-4;-2]\cup[10;+\infty)$.
$\left( -4 ;-2\right]\bigcup$ $\left[10 ; +\infty \right)$