ID: 00013668
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B_1 и C_1, причём BB_1 — образующая цилиндра, а AC_1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC_1 прямой.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC_1, если AB = 21, BB_1 = 12, B_1C_1 = 16.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Так как отрезок AC_1 пересекает ось цилиндра, его проекция на нижнее основание — отрезок AC — проходит через центр основания, то есть AC является диаметром нижней окружности.
Точка B лежит на той же окружности, а AC — её диаметр. Вписанный угол ABC, опирающийся на диаметр, прямой: \angle ABC=90^\circ, поэтому BA\perp BC.
Образующая CC_1 перпендикулярна плоскости основания, значит CC_1\perp BA (прямая основания). Тогда BA перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и CC_1 плоскости BCC_1, поэтому BA\perp BC_1.
Следовательно, угол ABC_1 прямой, что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Введём координаты: центр нижнего основания O=(0;0;0), A=(-R;0;0), C=(R;0;0), где R=\dfrac{AC}{2}, а AC=\sqrt{AB^2+B_1C_1^2}=\sqrt{697}.
Точку B=(x;y;0) найдём из условий x^2+y^2=R^2 и AB=21; точка C_1=(R;0;12) (над C).
Расстояние от B до прямой AC_1 вычисляем как d=\dfrac{|\vec{AB}\times\vec{AC_1}|}{|\vec{AC_1}|}=\dfrac{420}{29}.
Ответ: \dfrac{420}{29}.
\frac{420}{29}