ID: 00013668
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$, если $AB = 21$, $BB_1 = 12$, $B_1C_1 = 16$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Так как отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра, его проекция на нижнее основание — отрезок $AC$ — проходит через центр основания, то есть $AC$ является диаметром нижней окружности.
Точка $B$ лежит на той же окружности, а $AC$ — её диаметр. Вписанный угол $ABC$, опирающийся на диаметр, прямой: $\angle ABC=90^\circ$, поэтому $BA\perp BC$.
Образующая $CC_1$ перпендикулярна плоскости основания, значит $CC_1\perp BA$ (прямая основания). Тогда $BA$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $CC_1$ плоскости $BCC_1$, поэтому $BA\perp BC_1$.
Следовательно, угол $ABC_1$ прямой, что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Введём координаты: центр нижнего основания $O=(0;0;0)$, $A=(-R;0;0)$, $C=(R;0;0)$, где $R=\dfrac{AC}{2}$, а $AC=\sqrt{AB^2+B_1C_1^2}=\sqrt{697}$.
Точку $B=(x;y;0)$ найдём из условий $x^2+y^2=R^2$ и $AB=21$; точка $C_1=(R;0;12)$ (над $C$).
Расстояние от $B$ до прямой $AC_1$ вычисляем как $d=\dfrac{|\vec{AB}\times\vec{AC_1}|}{|\vec{AC_1}|}=\dfrac{420}{29}$.
$\frac{420}{29}$