Пункт а (доказательство).

Так как отрезок AC_1 пересекает ось цилиндра, его проекция на нижнее основание — отрезок AC — проходит через центр основания, то есть AC является диаметром нижней окружности.

Точка B лежит на той же окружности, а AC — её диаметр. Вписанный угол ABC, опирающийся на диаметр, прямой: \angle ABC=90^\circ, поэтому BA\perp BC.

Образующая CC_1 перпендикулярна плоскости основания, значит CC_1\perp BA (прямая основания). Тогда BA перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и CC_1 плоскости BCC_1, поэтому BA\perp BC_1.

Следовательно, угол ABC_1 прямой, что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Высота цилиндра равна образующей BB_1=15. В прямоугольном треугольнике ABC катеты AB=6 и BC=B_1C_1=8 (равны как хорды, стянутые образующими), гипотенуза — диаметр AC=2R.

По теореме Пифагора AC=\sqrt{AB^2+B_1C_1^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10, поэтому радиус R=\dfrac{AC}{2}=5.

Площадь боковой поверхности: S_{бок}=2\pi R\cdot h=\pi\cdot AC\cdot h=\pi\cdot10\cdot15=150\pi.

Ответ: 150\pi.