Слева — несколько логарифмов с основанием 2. Свернём их в один, сравним аргументы — получится кубическое неравенство. Знак нестрогий.

Область определения: x\sqrt5\gt 0 (то есть x\gt 0) и \dfrac{x}{1-x}\gt 0 (то есть 0\lt x\lt 1). Вместе: 0\lt x\lt 1.

Заметим 2\log_2(x\sqrt5)=\log_2(5x^{2}). Тогда левая часть \log_2(5x^{2})-\log_2\dfrac{x}{1-x}=\log_2\big(5x(1-x)\big). Переходим к аргументам:

5x(1-x)\leqslant 5x^{2}+\dfrac1x-2.

Умножим на x\gt 0 и перенесём всё в одну сторону:

10x^{3}-5x^{2}-2x+1\geqslant 0,\qquad (2x-1)(5x^{2}-1)\geqslant 0.

Корни x=\dfrac12 и x=\dfrac1{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5} входят (знак нестрогий). На отрезке 0\lt x\lt 1 методом интервалов получаем \left(0;\dfrac{\sqrt5}{5}\right]\cup\left[\dfrac12;1\right).