ID: 00013652
Решите неравенство
2 $\log_{2}x\sqrt{5} -$$\log_{2}\dfrac{x}{1-x}$ $\leq$ $\log_{2}\left(5x^{2} + \dfrac{1}{x} - 2\right)$
Источник: ФИПИ
Слева — несколько логарифмов с основанием $2$. Свернём их в один, сравним аргументы — получится кубическое неравенство. Знак нестрогий.
Область определения: $x\sqrt5\gt 0$ (то есть $x\gt 0$) и $\dfrac{x}{1-x}\gt 0$ (то есть $0\lt x\lt 1$). Вместе: $0\lt x\lt 1$.
Заметим $2\log_2(x\sqrt5)=\log_2(5x^{2})$. Тогда левая часть $\log_2(5x^{2})-\log_2\dfrac{x}{1-x}=\log_2\big(5x(1-x)\big)$. Переходим к аргументам:
$$5x(1-x)\leqslant 5x^{2}+\dfrac1x-2.$$
Умножим на $x\gt 0$ и перенесём всё в одну сторону:
$$10x^{3}-5x^{2}-2x+1\geqslant 0,\qquad (2x-1)(5x^{2}-1)\geqslant 0.$$
Корни $x=\dfrac12$ и $x=\dfrac1{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}$ входят (знак нестрогий). На отрезке $0\lt x\lt 1$ методом интервалов получаем $\left(0;\dfrac{\sqrt5}{5}\right]\cup\left[\dfrac12;1\right)$.
$\left(0 ; \dfrac{\sqrt{5}}{5} \right]$ $\bigcup$ $\left[ \dfrac{1}{2} ; 1 \right)$