Решите неравенство log по основанию 2 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка - log по основанию 2 x меньше или равно log по основанию 2 левая круглая скобка 5x плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: x конец дроби минус 11 правая круглая скобка

левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая квадратная скобка левая квадратная скобка 10; плюс бесконечность правая круглая скобка

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство log по основанию 2 левая круглая скобка 4x в…

№2. Задание 15

ID: 00013644

Решите неравенство

$\log_{2}\left(4x^{2} - 1\right)$ - $\log_{2}x$ $\leq$ $\log_{2}\left(5x +\dfrac{9}{x}-11 \right)$

Решение

Слева — разность логарифмов с основанием $2$ . Свернём её в один логарифм и сравним аргументы. Неравенство нестрогое.

Область определения: $4x^{2}-1\gt 0$ (то есть $|x|\gt \tfrac12$ ), $x\gt 0$ (из $\log_2 x$ ) и $5x+\dfrac9x-11\gt 0$ . Базовое условие — $x\gt \dfrac12$ .

Слева: $\log_2(4x^{2}-1)-\log_2 x=\log_2\dfrac{4x^{2}-1}{x}$ . Основание $2\gt 1$ , переходим к аргументам:

$\dfrac{4x^{2}-1}{x}\leqslant 5x+\dfrac9x-11.$

Умножим на $x\gt 0$ : $4x^{2}-1\leqslant 5x^{2}+9-11x$ . Перенесём всё вправо:

$0\leqslant x^{2}-11x+10,\qquad 0\leqslant (x-1)(x-10).$

Отсюда $x\leqslant 1$ или $x\geqslant 10$ (концы входят — знак нестрогий). Пересекаем с $x\gt \dfrac12$ и получаем $\left(\dfrac12;1\right]\cup[10;+\infty)$ .

Ответ

$\left(\dfrac{1}{2} ; 1\right]$ $\bigcup$ $\left[ 10 ;+\infty\right)$