Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00013644

Слева — разность логарифмов с основанием $2$. Свернём её в один логарифм и сравним аргументы. Неравенство нестрогое.

Область определения: $4x^{2}-1\gt 0$ (то есть $|x|\gt \tfrac12$), $x\gt 0$ (из $\log_2 x$) и $5x+\dfrac9x-11\gt 0$. Базовое условие — $x\gt \dfrac12$.

Слева: $\log_2(4x^{2}-1)-\log_2 x=\log_2\dfrac{4x^{2}-1}{x}$. Основание $2\gt 1$, переходим к аргументам:

$$\dfrac{4x^{2}-1}{x}\leqslant 5x+\dfrac9x-11.$$

Умножим на $x\gt 0$: $4x^{2}-1\leqslant 5x^{2}+9-11x$. Перенесём всё вправо:

$$0\leqslant x^{2}-11x+10,\qquad 0\leqslant (x-1)(x-10).$$

Отсюда $x\leqslant 1$ или $x\geqslant 10$ (концы входят — знак нестрогий). Пересекаем с $x\gt \dfrac12$ и получаем $\left(\dfrac12;1\right]\cup[10;+\infty)$.