ID: 00013644
Решите неравенство
$\log_{2}\left(4x^{2} - 1\right)$ - $\log_{2}x$ $\leq$ $\log_{2}\left(5x +\dfrac{9}{x}-11 \right)$
Источник: ФИПИ
Слева — разность логарифмов с основанием $2$. Свернём её в один логарифм и сравним аргументы. Неравенство нестрогое.
Область определения: $4x^{2}-1\gt 0$ (то есть $|x|\gt \tfrac12$), $x\gt 0$ (из $\log_2 x$) и $5x+\dfrac9x-11\gt 0$. Базовое условие — $x\gt \dfrac12$.
Слева: $\log_2(4x^{2}-1)-\log_2 x=\log_2\dfrac{4x^{2}-1}{x}$. Основание $2\gt 1$, переходим к аргументам:
$$\dfrac{4x^{2}-1}{x}\leqslant 5x+\dfrac9x-11.$$
Умножим на $x\gt 0$: $4x^{2}-1\leqslant 5x^{2}+9-11x$. Перенесём всё вправо:
$$0\leqslant x^{2}-11x+10,\qquad 0\leqslant (x-1)(x-10).$$
Отсюда $x\leqslant 1$ или $x\geqslant 10$ (концы входят — знак нестрогий). Пересекаем с $x\gt \dfrac12$ и получаем $\left(\dfrac12;1\right]\cup[10;+\infty)$.
$\left(\dfrac{1}{2} ; 1\right]$ $\bigcup$ $\left[ 10 ;+\infty\right)$