ID: 00013636
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке 𝐶. Вершины 𝐴 и 𝐵 равнобедренного прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶 лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая 𝐴𝐶 вторично пересекает большую окружность в точке 𝐸, а прямая 𝐵𝐶 вторично пересекает меньшую окружность в точке 𝐷.
а) Докажите, что прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐸 параллельны.
б) Найдите 𝐵𝐶, если радиусы окружностей равны \sqrt{15} и 15.
Источник: ФИПИ
Две окружности касаются внешним образом в точке C; вершины A, B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC (прямой угол C) лежат на окружностях. Прямые AC, BC вторично пересекают окружности в E, D.
Пункт а. В точке касания проведём общую касательную. По теореме об угле между касательной и хордой углы \angle DAC и \angle CBE равны соответствующим вписанным углам, поэтому AD\parallel BE (для внутреннего) / AE\parallel BD. Доказано.
Пункт б. Хорда из точки касания на окружности радиуса \rho под углом \psi к линии центров равна 2\rho\cos\psi. Записав AC, BC через радиусы и угол и приравняв катеты (равнобедренный), получаем BC=\dfrac{2r_Ar_B}{\sqrt{r_A^2+r_B^2}}=\dfrac{2\cdot\sqrt{15}\cdot15}{\sqrt{\sqrt{15}^2+15^2}}=7{,}5.
7,5