ID: 00013636
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке 𝐶. Вершины 𝐴 и 𝐵 равнобедренного прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐶 лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая 𝐴𝐶 вторично пересекает большую окружность в точке 𝐸, а прямая 𝐵𝐶 вторично пересекает меньшую окружность в точке 𝐷.
а) Докажите, что прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐸 параллельны.
б) Найдите 𝐵𝐶, если радиусы окружностей равны $\sqrt{15}$ и 15.
Источник: ФИПИ
Две окружности касаются внешним образом в точке $C$; вершины $A$, $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ (прямой угол $C$) лежат на окружностях. Прямые $AC$, $BC$ вторично пересекают окружности в $E$, $D$.
Пункт а. В точке касания проведём общую касательную. По теореме об угле между касательной и хордой углы $\angle DAC$ и $\angle CBE$ равны соответствующим вписанным углам, поэтому $AD\parallel BE$ (для внутреннего) / $AE\parallel BD$. Доказано.
Пункт б. Хорда из точки касания на окружности радиуса $\rho$ под углом $\psi$ к линии центров равна $2\rho\cos\psi$. Записав $AC$, $BC$ через радиусы и угол и приравняв катеты (равнобедренный), получаем $BC=\dfrac{2r_Ar_B}{\sqrt{r_A^2+r_B^2}}=\dfrac{2\cdot\sqrt{15}\cdot15}{\sqrt{\sqrt{15}^2+15^2}}=7{,}5$.
7,5