ID: 00013635
Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает большую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 3 и 4.
Источник: ФИПИ
Две окружности касаются внутренним образом в точке C; вершины A, B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC (прямой угол C) лежат на окружностях. Прямые AC, BC вторично пересекают окружности в E, D.
Пункт а. В точке касания проведём общую касательную. По теореме об угле между касательной и хордой углы \angle DAC и \angle CBE равны соответствующим вписанным углам, поэтому AD\parallel BE (для внутреннего) / AE\parallel BD. Доказано.
Пункт б. Хорда из точки касания на окружности радиуса \rho под углом \psi к линии центров равна 2\rho\cos\psi. Записав AC, BC через радиусы и угол и приравняв катеты (равнобедренный), получаем AC=\dfrac{2r_Ar_B}{\sqrt{r_A^2+r_B^2}}=\dfrac{2\cdot3\cdot4}{\sqrt{3^2+4^2}}=4{,}8.
4,8