Всюду стоит 11^{x} — заменим его буквой t и соберём всё в одну дробь.

Пусть t=11^{x}, t\gt 0. Тогда 121^{x}=(11^{x})^{2}=t^{2}, и знаменатель дроби 121^{x}-16\cdot 11^{x}+60=t^{2}-16t+60=(t-6)(t-10). Неравенство принимает вид:

t-6-\dfrac{24t-244}{(t-6)(t-10)}\leqslant \dfrac{1}{t-10}.

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю (t-6)(t-10). После упрощения числитель сворачивается в (t-11)(t-1)(t-10)^{2}:

\dfrac{(t-11)(t-1)(t-10)^{2}}{(t-6)(t-10)^{2}}\leqslant 0.

Сократим на (t-10)^{2} (точка t=10 исключена — там нуль знаменателя):

\dfrac{(t-11)(t-1)}{t-6}\leqslant 0.

Нули числителя t=1, t=11 входят, точка t=6 выколота, отдельно выколота t=10. На луче t\gt 0 дробь не больше нуля на (0;1] и на (6;11] (без t=10).

Возвращаемся к x: t\leqslant 1 даёт x\leqslant 0; 6\lt t\lt 10 даёт \log_{11}6\lt x\lt \log_{11}10; 10\lt t\leqslant 11 даёт \log_{11}10\lt x\leqslant 1. Итог: (-\infty;0]\cup(\log_{11}6;\log_{11}10)\cup(\log_{11}10;1].