Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00013619

Громоздкое неравенство, но всюду прячется $2^{x}$. Заменим его буквой $t$, а дроби упростим, выделив целые части — тогда почти всё сократится.

Пусть $t=2^{x}$, $t\gt 0$. Тогда $4^{x}=t^{2}$, $3\cdot 2^{x+1}=6t$. Выделим целые части в дробях: $\dfrac{t^{2}-6t+4}{t-5}=(t-1)-\dfrac{1}{t-5}$ и $\dfrac{6t-46}{t-8}=6+\dfrac{2}{t-8}$.

Подставляем. Слева получается $(t-1)-\dfrac{1}{t-5}+6+\dfrac{2}{t-8}$, справа $t+5$. Целые части $(t-1)+6=t+5$ совпадают с правой частью и сокращаются! Остаётся:

$$\dfrac{2}{t-8}-\dfrac{1}{t-5}\leqslant 0.$$

Сложим в одну дробь: $\dfrac{2(t-5)-(t-8)}{(t-8)(t-5)}=\dfrac{t-2}{(t-8)(t-5)}\leqslant 0$.

Нуль числителя $t=2$ входит, точки $t=5$, $t=8$ выколоты. При $t\gt 0$ дробь не больше нуля на $(0;2]$ и на $(5;8)$.

Возвращаемся к $x$: $2^{x}\leqslant 2$ даёт $x\leqslant 1$; $5\lt 2^{x}\lt 8$ даёт $\log_2 5\lt x\lt 3$. Итог: $(-\infty;1]\cup(\log_2 5;3)$.