дробь: числитель: 4 в степени x минус 3 умножить на 2 в степени x плюс 1 плюс 4, знаменатель: 2 в степени x минус 5 конец дроби + дробь: числитель: 3 умножить на 2 в степени x плюс 1 минус 46, знаменатель: 2 в степени x минус 8 конец дроби меньше или равно 2 в степени x + 5

левая круглая скобка минус бесконечность; 1 правая квадратная скобка левая круглая скобка log по основанию 2 5; 3 правая круглая скобка

Задание 15 ЕГЭ по математике: дробь: числитель: 4 в степени x минус 3 умножить на 2 в степени…

№2. Задание 15

ID: 00013619

$\dfrac{4^{x}-3 \cdot 2^{x+1}+4}{2^{x}-5}$ + $\dfrac{3 \cdot 2^{x+1}-46}{2^{x}-8}$ $\leq$ $2^{x}$ + 5

Решение

Громоздкое неравенство, но всюду прячется $2^{x}$ . Заменим его буквой $t$ , а дроби упростим, выделив целые части — тогда почти всё сократится.

Пусть $t=2^{x}$ , $t\gt 0$ . Тогда $4^{x}=t^{2}$ , $3\cdot 2^{x+1}=6t$ . Выделим целые части в дробях: $\dfrac{t^{2}-6t+4}{t-5}=(t-1)-\dfrac{1}{t-5}$ и $\dfrac{6t-46}{t-8}=6+\dfrac{2}{t-8}$ .

Подставляем. Слева получается $(t-1)-\dfrac{1}{t-5}+6+\dfrac{2}{t-8}$ , справа $t+5$ . Целые части $(t-1)+6=t+5$ совпадают с правой частью и сокращаются! Остаётся:

$\dfrac{2}{t-8}-\dfrac{1}{t-5}\leqslant 0.$

Сложим в одну дробь: $\dfrac{2(t-5)-(t-8)}{(t-8)(t-5)}=\dfrac{t-2}{(t-8)(t-5)}\leqslant 0$ .

Нуль числителя $t=2$ входит, точки $t=5$ , $t=8$ выколоты. При $t\gt 0$ дробь не больше нуля на $(0;2]$ и на $(5;8)$ .

Возвращаемся к $x$ : $2^{x}\leqslant 2$ даёт $x\leqslant 1$ ; $5\lt 2^{x}\lt 8$ даёт $\log_2 5\lt x\lt 3$ . Итог: $(-\infty;1]\cup(\log_2 5;3)$ .

Ответ

$\left(-\infty; 1\right]$ $\bigcup$ $\left(\log_{2}5; 3 \right)$