ID: 00013618
Решите неравенство
$\dfrac{2\cdot8^{x-1}}{2\cdot8^{x-1}-1}$ $\geq$ $\dfrac{3}{8^{x}-1}$ + $\dfrac{8}{64^{x}-5\cdot8^{x}+4}$
Источник: ФИПИ
Всюду стоит $8^{x}$ — заменим его буквой $t$. Неравенство нестрогое, нуль числителя войдёт в ответ.
Пусть $t=8^{x}$, $t\gt 0$. Тогда $2\cdot 8^{x-1}=\dfrac{t}{4}$, левая дробь $\dfrac{t/4}{t/4-1}=\dfrac{t}{t-4}$, а знаменатель последнего слагаемого $64^{x}-5\cdot 8^{x}+4=t^{2}-5t+4=(t-1)(t-4)$.
Перенесём всё влево к общему знаменателю $(t-4)(t-1)$. После раскрытия числитель сворачивается в полный квадрат:
$$\dfrac{(t-2)^{2}}{(t-4)(t-1)}\geqslant 0.$$
Числитель $(t-2)^{2}\geqslant 0$, ноль при $t=2$. Дробь неотрицательна в точке $t=2$ и там, где $(t-4)(t-1)\gt 0$. При $t\gt 0$ это $0\lt t\lt 1$ или $t\gt 4$. Итак, $0\lt t\lt 1$, $t=2$ или $t\gt 4$.
Возвращаемся к $x$: $8^{x}\lt 1$ даёт $x\lt 0$; $8^{x}=2$ даёт $x=\dfrac13$; $8^{x}\gt 4$ даёт $x\gt \dfrac23$. Итог: $(-\infty;0)\cup\left\{\dfrac13\right\}\cup\left(\dfrac23;+\infty\right)$.
$\left(-\infty ; 0 \right)$ $\bigcup$ $\left\{\dfrac{1}{3} \right\}$ $\bigcup$ $\left(\dfrac{2}{3} ; +\infty \right)$