ID: 00013613
Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.
а) Докажите, что BM = BN.
б) Найдите MN, если AC = 4, sin∠BAD=\frac{8}{17}
Источник: ФИПИ
В параллелограмме ABCD (острый угол A) на продолжении AD за D взята точка N с CN=CD, на продолжении CD за D — точка M с AD=AM.
Пункт а. Докажем, что BM=BN.
В параллелограмме BC=AD и AB=CD. По построению AM=AD=BC и CN=CD=AB.
Рассмотрим треугольники ABM и NCB (или BAM и BCN). У них AB=CN, AM=CB, а углы \angle BAM и \angle BCN равны (через параллельность сторон и равные углы параллелограмма). Значит, треугольники равны, и BM=BN. Доказано.
Пункт б. Найдём MN, если AC=4, \sin\angle BAD=\dfrac{8}{17}.
Из равенства треугольников следует, что BM=BN=AC=4 (диагональ параллелограмма равна этим отрезкам — это следствие построения).
Угол при вершине B в треугольнике MBN равен \angle MBN=180^\circ-\angle BAD. Тогда основание равнобедренного треугольника MN=2\cdot BM\cdot\sin\dfrac{\angle MBN}{2}=2\cdot BM\cdot\cos\dfrac{\angle BAD}{...}, что даёт MN=2\cdot AC\cdot\cos\angle BAD.
Найдём \cos\angle BAD: из \sin\angle BAD=\dfrac{8}{17} имеем \cos\angle BAD=\sqrt{1-\left(\dfrac{8}{17}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{289-64}{289}}=\dfrac{15}{17}.
Тогда MN=2\cdot 4\cdot\dfrac{15}{17}=\dfrac{120}{17}.
\frac{120}{17}