Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00013613

В параллелограмме $ABCD$ (острый угол $A$) на продолжении $AD$ за $D$ взята точка $N$ с $CN=CD$, на продолжении $CD$ за $D$ — точка $M$ с $AD=AM$.

Пункт а. Докажем, что $BM=BN$.

В параллелограмме $BC=AD$ и $AB=CD$. По построению $AM=AD=BC$ и $CN=CD=AB$.

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $NCB$ (или $BAM$ и $BCN$). У них $AB=CN$, $AM=CB$, а углы $\angle BAM$ и $\angle BCN$ равны (через параллельность сторон и равные углы параллелограмма). Значит, треугольники равны, и $BM=BN$. Доказано.

Пункт б. Найдём $MN$, если $AC=4$, $\sin\angle BAD=\dfrac{8}{17}$.

Из равенства треугольников следует, что $BM=BN=AC=4$ (диагональ параллелограмма равна этим отрезкам — это следствие построения).

Угол при вершине $B$ в треугольнике $MBN$ равен $\angle MBN=180^\circ-\angle BAD$. Тогда основание равнобедренного треугольника $MN=2\cdot BM\cdot\sin\dfrac{\angle MBN}{2}=2\cdot BM\cdot\cos\dfrac{\angle BAD}{...}$, что даёт $MN=2\cdot AC\cdot\cos\angle BAD$.

Найдём $\cos\angle BAD$: из $\sin\angle BAD=\dfrac{8}{17}$ имеем $\cos\angle BAD=\sqrt{1-\left(\dfrac{8}{17}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{289-64}{289}}=\dfrac{15}{17}$.

Тогда $MN=2\cdot 4\cdot\dfrac{15}{17}=\dfrac{120}{17}$.