Слева — дробь и обратная к ней, всюду сидит 3^{x}. Заменим степень буквой и соберём всё в одну дробь.

Пусть t=3^{x}, t\gt 0. Тогда 9^{x}=(3^{x})^{2}=t^{2} и 3^{x+1}=3t. Левую часть приводим к общему знаменателю (t-9)(t+9): числитель (t+9)^{2}+(t-9)^{2}=2t^{2}+162. Правая часть: \dfrac{4\cdot 3t+144}{t^{2}-81}=\dfrac{12t+144}{(t-9)(t+9)}.

Знаменатели одинаковые, поэтому сравниваем числители; перенесём правый влево:

\dfrac{2t^{2}+162-12t-144}{(t-9)(t+9)}\geqslant 0,\qquad \dfrac{2t^{2}-12t+18}{(t-9)(t+9)}\geqslant 0.

Числитель сворачивается в полный квадрат: 2t^{2}-12t+18=2(t-3)^{2}. Получаем:

\dfrac{(t-3)^{2}}{(t-9)(t+9)}\geqslant 0.

Числитель \geqslant 0 всегда и равен нулю при t=3. Значит дробь неотрицательна либо в точке t=3, либо там, где знаменатель положителен. При t\gt 0 знаменатель (t-9)(t+9)\gt 0 при t\gt 9 (множитель t+9 положителен всегда). Итак, t=3 или t\gt 9.

Возвращаемся к x: t=3 даёт x=1; t\gt 9 даёт x\gt 2. Итог: \{1\}\cup(2;+\infty).