Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00013611

Всюду стоит $8^{x}$ — заменим его буквой $t$. Неравенство нестрогое.

Пусть $t=8^{x}$, $t\gt 0$. Тогда $8^{x+1}=8t$ и $64^{x}=(8^{x})^{2}=t^{2}$. Перенесём единицу влево:

$$\dfrac{8t-40}{2t^{2}-32}-1\leqslant 0.$$

Приведём к общему знаменателю $2t^{2}-32=2(t^{2}-16)$. В числителе: $8t-40-(2t^{2}-32)=-2t^{2}+8t-8=-2(t-2)^{2}$. Значит:

$$\dfrac{-2(t-2)^{2}}{2(t-4)(t+4)}\leqslant 0,\qquad \dfrac{(t-2)^{2}}{(t-4)(t+4)}\geqslant 0$$

(поделили на $-2$ и перевернули знак). Числитель $(t-2)^{2}\geqslant 0$, ноль при $t=2$. Дробь неотрицательна в точке $t=2$ и там, где $(t-4)(t+4)\gt 0$. При $t\gt 0$ множитель $t+4\gt 0$, поэтому остаётся $t\gt 4$. Итак, $t=2$ или $t\gt 4$.

Возвращаемся к $x$: $8^{x}=2$ даёт $x=\dfrac13$ (ведь $2=8^{1/3}$); $8^{x}\gt 4$ даёт $x\gt \dfrac23$. Итог: $\left\{\dfrac13\right\}\cup\left(\dfrac23;+\infty\right)$.