ID: 00013610
Прямая, проходящая через вершину 𝐵 прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 перпендикулярно диагонали 𝐴𝐶, пересекает сторону 𝐴𝐷 в точке 𝑀, равноудаленной от вершин 𝐵 и 𝐷.
а) Докажите, что ∠𝐴𝐵𝑀 = ∠𝐷𝐵𝐶 = 30°.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой 𝐶𝑀, если 𝐵𝐶 = 9.
Источник: ФИПИ
Сделаем чертёж: прямоугольник $ABCD$, прямая через $B$ перпендикулярно диагонали $AC$ пересекает $AD$ в точке $M$, равноудалённой от $B$ и $D$.
Пункт а. Введём координаты: $A=(0;0)$, $B=(a;0)$, $C=(a;b)$, $D=(0;b)$, где $BC=b$.
Прямая через $B$ перпендикулярно $AC$ пересекает сторону $AD$ в точке $M=\left(0;\dfrac{a^2}{b}\right)$.
Условие $MB=MD$ приводит к равенству $3a^2=b^2$, то есть $a=\dfrac{b}{\sqrt3}$.
Тогда $\operatorname{tg}\angle ABM=\operatorname{tg}\angle DBC=\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{\sqrt3}$, значит оба угла равны $30^\circ$, что и требовалось доказать.
Пункт б. При $BC=b=9$ имеем $a=3\sqrt3$, $M=(0;3)$, $C=(3\sqrt3;9)$, центр $O=\left(\dfrac{3\sqrt3}{2};\dfrac92\right)$.
Расстояние от центра $O$ до прямой $CM$ по формуле расстояния от точки до прямой равно $\dfrac{3\sqrt{21}}{14}$.
$\dfrac{3\sqrt{21}}{14}$