ID: 00013610
Прямая, проходящая через вершину 𝐵 прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 перпендикулярно диагонали 𝐴𝐶, пересекает сторону 𝐴𝐷 в точке 𝑀, равноудаленной от вершин 𝐵 и 𝐷.
а) Докажите, что ∠𝐴𝐵𝑀 = ∠𝐷𝐵𝐶 = 30°.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой 𝐶𝑀, если 𝐵𝐶 = 9.
Источник: ФИПИ
Сделаем чертёж: прямоугольник ABCD, прямая через B перпендикулярно диагонали AC пересекает AD в точке M, равноудалённой от B и D.
Пункт а. Введём координаты: A=(0;0), B=(a;0), C=(a;b), D=(0;b), где BC=b.
Прямая через B перпендикулярно AC пересекает сторону AD в точке M=\left(0;\dfrac{a^2}{b}\right).
Условие MB=MD приводит к равенству 3a^2=b^2, то есть a=\dfrac{b}{\sqrt3}.
Тогда \operatorname{tg}\angle ABM=\operatorname{tg}\angle DBC=\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{\sqrt3}, значит оба угла равны 30^\circ, что и требовалось доказать.
Пункт б. При BC=b=9 имеем a=3\sqrt3, M=(0;3), C=(3\sqrt3;9), центр O=\left(\dfrac{3\sqrt3}{2};\dfrac92\right).
Расстояние от центра O до прямой CM по формуле расстояния от точки до прямой равно \dfrac{3\sqrt{21}}{14}.
\dfrac{3\sqrt{21}}{14}