На сторонах треугольника ABC отмечены C_1\in AB, A_1\in BC, B_1\in AC с отношениями AC_1:C_1B=21:10, BA_1:A_1C=2:3, AB_1:B_1C=2:5. Отрезки BB_1 и CC_1 пересекаются в точке D.

Пункт а. Докажем, что ADA_1B_1 — параллелограмм.

Найдём положение D на чевианах методом масс. Расставим массы так, чтобы точки деления уравновешивались: из AC_1:C_1B=21:10 — массы A{:}B=10{:}21; из AB_1:B_1C=2:5 — массы A{:}C=5{:}2. Согласуем: m_A=10, m_B=21, и для B_1 нужно m_A:m_C=5:2, т.е. m_C=4.

Тогда на чевиане CC_1 точка D делит её как m_{C}:(m_A+m_B)... вычисляя по массам, находим, что \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B_1A_1} и \overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{DA_1}.

Равенство этих векторов означает, что противоположные стороны четырёхугольника ADA_1B_1 параллельны и равны, поэтому это параллелограмм. Доказано.

Пункт б. Найдём CD, если AD\perp BC, AC=63, BC=25.

Введём координаты: B=(0;0), C=(25;0) (ось x вдоль BC). Условие AD\perp BC означает, что отрезок AD вертикален, то есть точка D имеет ту же абсциссу, что и A.

Запишем A=(x;y). Точки B_1=A+\dfrac{2}{7}(C-A), C_1=A+\dfrac{21}{31}(B-A); D=BB_1\cap CC_1. Приравнивая абсциссу D к x и используя AC=63 (то есть (x-25)^2+y^2=63^2), решаем систему.

Получаем x=4 (значит и D_x=4), а из условия AC=63 и положения D на чевианах находим D=(4;\,12\sqrt2).

Тогда CD=\sqrt{(25-4)^2+(12\sqrt2)^2}=\sqrt{21^2+288}=\sqrt{441+288}=\sqrt{729}=27.