ID: 00013609
На сторонах 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечены точки 𝐶1, 𝐴1 и 𝐵1 соответственно, причём 𝐴𝐶1:𝐶1𝐵 = 21:10, 𝐵𝐴1:𝐴1𝐶 = 2:3, 𝐴𝐵1:𝐵1𝐶 = 2:5. Отрезки 𝐵𝐵1 и 𝐶𝐶1 пересекаются в точке 𝐷.
а) Докажите, что четырёхугольник 𝐴𝐷𝐴1𝐵1 – параллелограмм.
б) Найдите 𝐶𝐷, если отрезки 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 перпендикулярны, 𝐴𝐶 = 63, 𝐵𝐶 = 25.
Источник: ФИПИ
На сторонах треугольника $ABC$ отмечены $C_1\in AB$, $A_1\in BC$, $B_1\in AC$ с отношениями $AC_1:C_1B=21:10$, $BA_1:A_1C=2:3$, $AB_1:B_1C=2:5$. Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$.
Пункт а. Докажем, что $ADA_1B_1$ — параллелограмм.
Найдём положение $D$ на чевианах методом масс. Расставим массы так, чтобы точки деления уравновешивались: из $AC_1:C_1B=21:10$ — массы $A{:}B=10{:}21$; из $AB_1:B_1C=2:5$ — массы $A{:}C=5{:}2$. Согласуем: $m_A=10$, $m_B=21$, и для $B_1$ нужно $m_A:m_C=5:2$, т.е. $m_C=4$.
Тогда на чевиане $CC_1$ точка $D$ делит её как $m_{C}:(m_A+m_B)$... вычисляя по массам, находим, что $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B_1A_1}$ и $\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{DA_1}$.
Равенство этих векторов означает, что противоположные стороны четырёхугольника $ADA_1B_1$ параллельны и равны, поэтому это параллелограмм. Доказано.
Пункт б. Найдём $CD$, если $AD\perp BC$, $AC=63$, $BC=25$.
Введём координаты: $B=(0;0)$, $C=(25;0)$ (ось $x$ вдоль $BC$). Условие $AD\perp BC$ означает, что отрезок $AD$ вертикален, то есть точка $D$ имеет ту же абсциссу, что и $A$.
Запишем $A=(x;y)$. Точки $B_1=A+\dfrac{2}{7}(C-A)$, $C_1=A+\dfrac{21}{31}(B-A)$; $D=BB_1\cap CC_1$. Приравнивая абсциссу $D$ к $x$ и используя $AC=63$ (то есть $(x-25)^2+y^2=63^2$), решаем систему.
Получаем $x=4$ (значит и $D_x=4$), а из условия $AC=63$ и положения $D$ на чевианах находим $D=(4;\,12\sqrt2)$.
Тогда $CD=\sqrt{(25-4)^2+(12\sqrt2)^2}=\sqrt{21^2+288}=\sqrt{441+288}=\sqrt{729}=27$.
27