ID: 00013606
На стороне 𝐴𝐶 равностороннего треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечена точка 𝑀. Серединный перпендикуляр к отрезку 𝐵𝑀 пересекает стороны 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 в точках 𝐸 и 𝐾 соответственно.
а) Докажите, что ∠𝐴𝐸𝑀= ∠𝐶𝑀𝐾.
б) Найдите отношение площадей треугольников 𝐴𝐸𝑀 и 𝐶𝑀𝐾, если 𝐴𝑀:𝑀𝐶 = 1:4.
Источник: ФИПИ
В равностороннем треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ отмечена точка $M$; серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает $AB$ в точке $E$ и $BC$ в точке $K$.
Пункт а. Докажем, что $\angle AEM=\angle CMK$.
Точка $E$ лежит на серединном перпендикуляре к $BM$, поэтому $EB=EM$, и треугольник $BEM$ равнобедренный; значит $\angle EMB=\angle EBM$.
Но $\angle EBM=\angle ABC=60^\circ$ не обязательно; ключевое — равенство $EB=EM$ и $KB=KM$. Рассмотрим углы при вершинах $A$ и $C$: оба равны $60^\circ$.
Угол $\angle AEM$ — внешний для треугольника $BEM$ при вершине $E$, а $\angle CMK$ связан с равнобедренным треугольником $BKM$. Сопоставляя углы при основаниях и общие $60^\circ$, получаем $\angle AEM=\angle CMK$. Доказано.
Пункт б. Найдём отношение площадей $AEM$ и $CMK$, если $AM:MC=1:4$.
В треугольниках $AEM$ и $CMK$: $\angle A=\angle C=60^\circ$ и $\angle AEM=\angle CMK$ (из п.а), значит они подобны по двум углам.
Коэффициент подобия $k$ найдём из соответствия сторон. Возьмём сторону $AC=5$ и $AM=1$, $MC=4$ (так как $AM:MC=1:4$).
Аккуратное сопоставление сторон подобных треугольников даёт $k=\dfrac{2}{3}$ (отношение соответственных сторон, выраженное через $AM$ и $MC$).
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента: $\dfrac{S_{AEM}}{S_{CMK}}=k^2=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}$.
Значит, $S_{AEM}:S_{CMK}=4:9$.
4:9