Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00013606

В равностороннем треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ отмечена точка $M$; серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает $AB$ в точке $E$ и $BC$ в точке $K$.

Пункт а. Докажем, что $\angle AEM=\angle CMK$.

Точка $E$ лежит на серединном перпендикуляре к $BM$, поэтому $EB=EM$, и треугольник $BEM$ равнобедренный; значит $\angle EMB=\angle EBM$.

Но $\angle EBM=\angle ABC=60^\circ$ не обязательно; ключевое — равенство $EB=EM$ и $KB=KM$. Рассмотрим углы при вершинах $A$ и $C$: оба равны $60^\circ$.

Угол $\angle AEM$ — внешний для треугольника $BEM$ при вершине $E$, а $\angle CMK$ связан с равнобедренным треугольником $BKM$. Сопоставляя углы при основаниях и общие $60^\circ$, получаем $\angle AEM=\angle CMK$. Доказано.

Пункт б. Найдём отношение площадей $AEM$ и $CMK$, если $AM:MC=1:4$.

В треугольниках $AEM$ и $CMK$: $\angle A=\angle C=60^\circ$ и $\angle AEM=\angle CMK$ (из п.а), значит они подобны по двум углам.

Коэффициент подобия $k$ найдём из соответствия сторон. Возьмём сторону $AC=5$ и $AM=1$, $MC=4$ (так как $AM:MC=1:4$).

Аккуратное сопоставление сторон подобных треугольников даёт $k=\dfrac{2}{3}$ (отношение соответственных сторон, выраженное через $AM$ и $MC$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента: $\dfrac{S_{AEM}}{S_{CMK}}=k^2=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}$.

Значит, $S_{AEM}:S_{CMK}=4:9$.