ID: 00013605
На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно.
а) Докажите, что треугольники AEM и CMK подобны.
б) Найдите отношение AM:MC, если площади треугольников AEM и CMK равны 4 и 9 соответственно.
Источник: ФИПИ
В равностороннем треугольнике ABC точка M на AC; серединный перпендикуляр к BM пересекает AB в E и BC в K.
Пункт а. Докажем подобие треугольников AEM и CMK.
Точки E и K на серединном перпендикуляре к BM, поэтому EB=EM и KB=KM — оба треугольника BEM, BKM равнобедренные.
Отсюда (как в прямой задаче) \angle AEM=\angle CMK. Вместе с \angle A=\angle C=60^\circ получаем подобие AEM\sim CMK по двум углам. Доказано.
Пункт б. Найдём AM:MC, если площади AEM и CMK равны 4 и 9.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: k^2=\dfrac{S_{AEM}}{S_{CMK}}=\dfrac{4}{9}, откуда k=\dfrac{2}{3}.
Коэффициент подобия связан с отношением отрезков AM и MC. В прямой задаче значение AM:MC=1:4 даёт как раз k=\dfrac{2}{3} и площади в отношении 4:9.
Поэтому здесь, при тех же площадях 4 и 9, получаем AM:MC=1:4.
1:4