Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00013605

В равностороннем треугольнике $ABC$ точка $M$ на $AC$; серединный перпендикуляр к $BM$ пересекает $AB$ в $E$ и $BC$ в $K$.

Пункт а. Докажем подобие треугольников $AEM$ и $CMK$.

Точки $E$ и $K$ на серединном перпендикуляре к $BM$, поэтому $EB=EM$ и $KB=KM$ — оба треугольника $BEM$, $BKM$ равнобедренные.

Отсюда (как в прямой задаче) $\angle AEM=\angle CMK$. Вместе с $\angle A=\angle C=60^\circ$ получаем подобие $AEM\sim CMK$ по двум углам. Доказано.

Пункт б. Найдём $AM:MC$, если площади $AEM$ и $CMK$ равны $4$ и $9$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $k^2=\dfrac{S_{AEM}}{S_{CMK}}=\dfrac{4}{9}$, откуда $k=\dfrac{2}{3}$.

Коэффициент подобия связан с отношением отрезков $AM$ и $MC$. В прямой задаче значение $AM:MC=1:4$ даёт как раз $k=\dfrac{2}{3}$ и площади в отношении $4:9$.

Поэтому здесь, при тех же площадях $4$ и $9$, получаем $AM:MC=1:4$.