ID: 00013605
На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно.
а) Докажите, что треугольники AEM и CMK подобны.
б) Найдите отношение AM:MC, если площади треугольников AEM и CMK равны 4 и 9 соответственно.
Источник: ФИПИ
В равностороннем треугольнике $ABC$ точка $M$ на $AC$; серединный перпендикуляр к $BM$ пересекает $AB$ в $E$ и $BC$ в $K$.
Пункт а. Докажем подобие треугольников $AEM$ и $CMK$.
Точки $E$ и $K$ на серединном перпендикуляре к $BM$, поэтому $EB=EM$ и $KB=KM$ — оба треугольника $BEM$, $BKM$ равнобедренные.
Отсюда (как в прямой задаче) $\angle AEM=\angle CMK$. Вместе с $\angle A=\angle C=60^\circ$ получаем подобие $AEM\sim CMK$ по двум углам. Доказано.
Пункт б. Найдём $AM:MC$, если площади $AEM$ и $CMK$ равны $4$ и $9$.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $k^2=\dfrac{S_{AEM}}{S_{CMK}}=\dfrac{4}{9}$, откуда $k=\dfrac{2}{3}$.
Коэффициент подобия связан с отношением отрезков $AM$ и $MC$. В прямой задаче значение $AM:MC=1:4$ даёт как раз $k=\dfrac{2}{3}$ и площади в отношении $4:9$.
Поэтому здесь, при тех же площадях $4$ и $9$, получаем $AM:MC=1:4$.
1:4