Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00013579

Дробное неравенство, в котором сидит $3^{x}$. Заменим эту степень буквой и приведём левую часть к одной дроби.

Пусть $t=3^{x}$, $t\gt 0$. Тогда:

$$t+\dfrac{243}{t-36}\geqslant 0.$$

Приведём к общему знаменателю $t-36$:

$$\dfrac{t(t-36)+243}{t-36}\geqslant 0,\qquad \dfrac{t^{2}-36t+243}{t-36}\geqslant 0.$$

Числитель разложим на множители: его корни $t=9$ и $t=27$ (дискриминант равен $324=18^{2}$), поэтому $t^{2}-36t+243=(t-9)(t-27)$:

$$\dfrac{(t-9)(t-27)}{t-36}\geqslant 0.$$

Точки $9$ и $27$ входят (нули числителя), точка $36$ выколота. С учётом $t\gt 0$ дробь неотрицательна на $[9;27]$ и на $(36;+\infty)$.

Возвращаемся к $x$: $9\leqslant 3^{x}\leqslant 27$ даёт $2\leqslant x\leqslant 3$; $3^{x}\gt 36$ даёт $x\gt\log_3 36$ (это число между $3$ и $4$, ведь $27\lt 36\lt 81$).