Неравенства… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00013577

Здесь две дроби, и в обеих сидит одна и та же степень $3^{x}$. Заменим её буквой и решим обычное неравенство с дробями.

Пусть $t=3^{x}$. Сразу важное: степень $3^{x}$ всегда положительна, поэтому $t\gt 0$. Неравенство превращается в:

$$\dfrac{1}{t+21}+\dfrac{1}{t-27}\geqslant 0.$$

Сложим две дроби в одну. Общий знаменатель $(t+21)(t-27)$, а в числителе сложатся $(t-27)$ и $(t+21)$:

$$\dfrac{(t-27)+(t+21)}{(t+21)(t-27)}\geqslant 0,\qquad \dfrac{2t-6}{(t+21)(t-27)}\geqslant 0.$$

Множитель $t+21$ при $t\gt 0$ точно положителен — на положительное число можно сократить, не меняя знак. Останется:

$$\dfrac{2(t-3)}{t-27}\geqslant 0.$$

Отметим на прямой точку $t=3$ (числитель ноль — входит) и $t=27$ (знаменатель ноль — выколота). Дробь неотрицательна на $0\lt t\leqslant 3$ и на $t\gt 27$.

Возвращаемся к $x$. Условие $3^{x}\leqslant 3$ означает $x\leqslant 1$. Условие $3^{x}\gt 27=3^{3}$ означает $x\gt 3$. Итог: $(-\infty;1]\cup(3;+\infty)$.