Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00013575

В неравенстве всюду стоит $3^{x}$. Заменим эту степень одной буквой — и получится обычное неравенство с дробями.

Пусть $t=3^{x}$. Степень всегда положительна, поэтому сразу запомним: $t\gt 0$. Перенесём правую дробь влево, чтобы сравнивать с нулём:

$$\dfrac{4}{t-27}-\dfrac{1}{t-9}\geqslant 0.$$

Сложим дроби в одну. Общий знаменатель — $(t-27)(t-9)$, а в числителе $4(t-9)-(t-27)=4t-36-t+27=3t-9=3(t-3)$:

$$\dfrac{3(t-3)}{(t-27)(t-9)}\geqslant 0.$$

Отметим на прямой нуль числителя $t=3$ (он входит) и точки разрыва $t=9$, $t=27$ (там деление на ноль — выколем). Помним, что нас интересуют только $t\gt 0$. Расставляя знаки по промежуткам, видим: дробь неотрицательна на $[3;9)$ и на $(27;+\infty)$.

Возвращаемся к $x$. Условие $3\leqslant 3^{x}\lt 9$ означает $1\leqslant x\lt 2$ (ведь $3=3^{1}$, $9=3^{2}$). Условие $3^{x}\gt 27=3^{3}$ означает $x\gt 3$. Итог: $[1;2)\cup(3;+\infty)$.