Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00013438

Всюду стоит $3^{x}$ — заменим его буквой $t$. Неравенство нестрогое ($\leqslant$), это важно для границы.

Пусть $t=3^{x}$, $t\gt 0$. Перенесём всё влево, чтобы сравнивать с нулём:

$$\dfrac{13}{t-81}-\dfrac{1}{t-9}\leqslant 0.$$

Складываем в одну дробь. Числитель: $13(t-9)-(t-81)=13t-117-t+81=12t-36=12(t-3)$:

$$\dfrac{12(t-3)}{(t-81)(t-9)}\leqslant 0.$$

Нуль числителя $t=3$ входит (знак нестрогий), точки разрыва $t=9$ и $t=81$ выколоты. На луче $t\gt 0$ дробь не больше нуля на $(0;3]$ и на $(9;81)$.

Возвращаемся к $x$: $3^{x}\leqslant 3$ даёт $x\leqslant 1$; $9\lt 3^{x}\lt 81$ даёт $2\lt x\lt 4$. Итог: $(-\infty;1]\cup(2;4)$.