ID: 00013438
Решите неравенство
$\dfrac{13}{3^{x}-81}$ $\leq$ $\dfrac{1}{3^{x}-9}$
Источник: ФИПИ
Всюду стоит $3^{x}$ — заменим его буквой $t$. Неравенство нестрогое ($\leqslant$), это важно для границы.
Пусть $t=3^{x}$, $t\gt 0$. Перенесём всё влево, чтобы сравнивать с нулём:
$$\dfrac{13}{t-81}-\dfrac{1}{t-9}\leqslant 0.$$
Складываем в одну дробь. Числитель: $13(t-9)-(t-81)=13t-117-t+81=12t-36=12(t-3)$:
$$\dfrac{12(t-3)}{(t-81)(t-9)}\leqslant 0.$$
Нуль числителя $t=3$ входит (знак нестрогий), точки разрыва $t=9$ и $t=81$ выколоты. На луче $t\gt 0$ дробь не больше нуля на $(0;3]$ и на $(9;81)$.
Возвращаемся к $x$: $3^{x}\leqslant 3$ даёт $x\leqslant 1$; $9\lt 3^{x}\lt 81$ даёт $2\lt x\lt 4$. Итог: $(-\infty;1]\cup(2;4)$.
x $\in$ (-$\infty$ ; 1] $\bigcup$ (2 ;4)