ID: 00013422
а) Решите уравнение $\left( \dfrac{1}{49} \right)^{\sin(x+\pi)} = 7^{2\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3$\pi$; $\dfrac{9\pi}{2}$]
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведём к основанию $7$: $\left(\tfrac1{49}\right)^{\sin(x+\pi)}=7^{2\sin x}$, $7^{2\sqrt3\sin(\pi/2-x)}=7^{2\sqrt3\cos x}$:
$$\sin x=\sqrt3\cos x$$
Делим на $\cos x\neq0$:
$$\operatorname{tg} x=\sqrt3$$
Выпишем все серии корней:
$$\operatorname{tg} x=\sqrt3\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{10 \pi}{3}, \frac{13 \pi}{3}$$
a) $\left\{ \dfrac{\pi}{3} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z} \right\}$, б) $\dfrac{10\pi}{3}, \, \dfrac{13\pi}{3}.$