ID: 00013422
а) Решите уравнение \left( \dfrac{1}{49} \right)^{\sin(x+\pi)} = 7^{2\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3\pi; \dfrac{9\pi}{2}]
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведём к основанию 7: \left(\tfrac1{49}\right)^{\sin(x+\pi)}=7^{2\sin x}, 7^{2\sqrt3\sin(\pi/2-x)}=7^{2\sqrt3\cos x}:
\sin x=\sqrt3\cos x
Делим на \cos x\neq0:
\operatorname{tg} x=\sqrt3
Выпишем все серии корней:
\operatorname{tg} x=\sqrt3\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right]. Отметим на числовой окружности концы отрезка \left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right], выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
\frac{10 \pi}{3}, \frac{13 \pi}{3}
a) \left\{ \dfrac{\pi}{3} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z} \right\}, б) \dfrac{10\pi}{3}, \, \dfrac{13\pi}{3}.