ID: 00013419
а) Решите уравнение $\sqrt{3}\,\operatorname{tg}^2 x-4\operatorname{tg} x+\sqrt{3}=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\dfrac{5\pi}{2}\right]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Квадратное относительно $\operatorname{tg} x$ ($D=16-12=4$):
$$\operatorname{tg} x=\sqrt3\quad\text{или}\quad \operatorname{tg} x=\tfrac{\sqrt3}{3}$$
Выпишем все серии корней:
$$\operatorname{tg} x=\sqrt3\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\operatorname{tg} x=\tfrac{\sqrt3}{3}\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\,\frac{5 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\pi;\,\frac{5 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{7 \pi}{6}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{3}$$
а) $x=\frac{\pi}{3}+\pi n;\ x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$
б) $\frac{7 \pi}{6}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{3}$