ID: 00013419
а) Решите уравнение \sqrt{3}\,\operatorname{tg}^2 x-4\operatorname{tg} x+\sqrt{3}=0
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[\pi;\dfrac{5\pi}{2}\right]
Источник: ФИПИ
Пункт а. Квадратное относительно \operatorname{tg} x (D=16-12=4):
\operatorname{tg} x=\sqrt3\quad\text{или}\quad \operatorname{tg} x=\tfrac{\sqrt3}{3}
Выпишем все серии корней:
\operatorname{tg} x=\sqrt3\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
\operatorname{tg} x=\tfrac{\sqrt3}{3}\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[\pi;\,\frac{5 \pi}{2}\right]. Отметим на числовой окружности концы отрезка \left[\pi;\,\frac{5 \pi}{2}\right], выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
\frac{7 \pi}{6}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{3}
а) x=\frac{\pi}{3}+\pi n;\ x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
б) \frac{7 \pi}{6}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{3}