ID: 00013416
а) Решите уравнение $8 \cdot 16^{\sin^2 x} - 2 \cdot 4^{\cos 2x} = 63.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [$\frac{7\pi}{2}$;5$\pi$]
Источник: ФИПИ
Пункт а. Сведём к $4^{\cos 2x}$ через $2\sin^2 x=1-\cos 2x$; замена $t=4^{\cos 2x}>0$:
$$\frac{32}{t}-2t=63,\quad 2t^2+63t-32=0,\ t=\tfrac12$$
Обратно: $4^{\cos 2x}=\tfrac12\Rightarrow \cos 2x=-\tfrac12$.
Выпишем все серии корней:
$$\cos 2x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{7 \pi}{2};\,5 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{7 \pi}{2};\,5 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{11 \pi}{3}, \frac{13 \pi}{3}, \frac{14 \pi}{3}$$
a) $\left\{ \pm \dfrac{\pi}{3} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z} \right\}$, б) $\dfrac{11\pi}{3}, \dfrac{13\pi}{3}, \dfrac{14\pi}{3}.$