Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00013416

Пункт а. Сведём к $4^{\cos 2x}$ через $2\sin^2 x=1-\cos 2x$; замена $t=4^{\cos 2x}>0$:

$$\frac{32}{t}-2t=63,\quad 2t^2+63t-32=0,\ t=\tfrac12$$

Обратно: $4^{\cos 2x}=\tfrac12\Rightarrow \cos 2x=-\tfrac12$.

Выпишем все серии корней:

$$\cos 2x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{7 \pi}{2};\,5 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{7 \pi}{2};\,5 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{11 \pi}{3}, \frac{13 \pi}{3}, \frac{14 \pi}{3}$$