Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00013415

Всюду стоит $3^{x}$ — заменим эту степень буквой $t$ и решим обычное неравенство с дробями. Знак нестрогий.

Пусть $t=3^{x}$, $t\gt 0$. Перенесём правую дробь влево, чтобы сравнивать с нулём:

$$\dfrac{2}{t+27}-\dfrac{1}{t-27}\geqslant 0.$$

Сложим дроби. Общий знаменатель $(t+27)(t-27)$, числитель $2(t-27)-(t+27)=2t-54-t-27=t-81$:

$$\dfrac{t-81}{(t+27)(t-27)}\geqslant 0.$$

Множитель $t+27$ при $t\gt 0$ всегда положителен — на него можно сократить, знак не изменится:

$$\dfrac{t-81}{t-27}\geqslant 0.$$

Нуль числителя $t=81$ входит, точка разрыва $t=27$ выколота. На луче $t\gt 0$ дробь неотрицательна на $(0;27)$ и на $[81;+\infty)$.

Возвращаемся к $x$: $3^{x}\lt 27$ даёт $x\lt 3$ (ведь $27=3^{3}$); $3^{x}\geqslant 81$ даёт $x\geqslant 4$ ($81=3^{4}$). Итог: $(-\infty;3)\cup[4;+\infty)$.