Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00013414

Сначала учтём область допустимых значений (ОДЗ) — значения $x$, при которых уравнение имеет смысл.

Под корнем в знаменателе $11\sin x>0$, поэтому $\sin x>0$.

Пункт а. Числитель равен нулю (при ОДЗ). Приравняем показатели тройки ($9^{\sin 2x}=3^{2\sin 2x}$):

$$\sin 2x=\sqrt2\sin x$$

Раскроем $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и вынесем $\sin x>0$:

$$\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}\ \text{и}\ \sin x>0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{7 \pi}{2};\,5 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{7 \pi}{2};\,5 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{17 \pi}{4}$$