ID: 00013411
а) Решите уравнение $27^{x}-4\cdot 3^{x+2}+3^{5-x}=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_7 4;\log_7 16\right]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведём к $3^x$ и домножим на $3^x>0$:
$$3^{4x}-36\cdot 3^{2x}+243=0$$
Замена $t=3^{2x}>0$:
$$t^2-36t+243=0,\quad t_1=27,\ t_2=9$$
Обратно: $3^{2x}=27\Rightarrow x=\tfrac32$; $3^{2x}=9\Rightarrow x=1$.
Выпишем все серии корней:
$$x_1=\tfrac32,\qquad x_2=1$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\log_7 4;\,\log_7 16\right]$. Для каждого корня проверим двойное неравенство $\frac{\log{\left(4 \right)}}{\log{\left(7 \right)}}\le x\le \frac{\log{\left(16 \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$ и оставим попавшие на отрезок.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$1$$
а) 1; 1,5
б) 1