Задание 20 ЕГЭ по математике №00013369

Что дано: $30$ различных натуральных чисел, каждое оканчивается на $2$ или на $6$, а их сумма $2454$. Пусть $p$ чисел оканчиваются на $6$, а $q$ — на $2$, тогда $p+q=30$.

Главный приём — посмотреть на последнюю цифру суммы. Последние цифры дают вклад $6p+2q$. Перепишем: $6p+2q=2(p+q)+4p=60+4p$. Сумма $2454$ оканчивается на $4$, поэтому $60+4p$ должно оканчиваться на $4$: $4p\equiv 4\pmod{10}$, то есть $2p\equiv 2\pmod 5$, откуда $p\equiv 1\pmod 5$.

Пункт а). Может ли быть поровну, $p=q=15$? Тогда $p=15$, но $15$ не даёт остаток $1$ при делении на $5$. Значит — нет.

Пункт б). Может ли $p=1$ (ровно одно число на $6$)? Тогда $29$ чисел оканчиваются на $2$; самые маленькие различные такие — $2,12,22,\dots,282$. Их сумма $29\cdot 2+10(0+1+\dots+28)=58+4060=4118$, и это уже больше $2454$. Значит сумму $2454$ так не получить — нет.

Пункт в). Найдём наименьшее $p$. При данном $p$ (и $q=30-p$) наименьшая возможная сумма — это $p$ самых маленьких чисел на $6$ и $q$ самых маленьких на $2$. Подсчёт даёт минимальную сумму $10p^{2}-296p+4410$. Она не должна превышать $2454$: $10p^{2}-296p+4410\leqslant 2454$, то есть $5p^{2}-148p+978\leqslant 0$, откуда $p\geqslant 10$ (целое).

Совмещаем с $p\equiv 1\pmod 5$: наименьшее подходящее — $p=11$. Проверка: при $p=11$ минимальная сумма $2364\leqslant 2454$, остаток $90$ легко добрать, увеличив несколько чисел. А при $p=6$ минимум $2994\gt 2454$ — невозможно. Наименьшее количество чисел на $6$ — 11.