Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00013364

Задание №15. Стереометрическая задача

Угол между прямой и плоскостью

№2. Задание 15

ID: 00013364

В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный (AB = BC) треугольник ABC. Точка K — середина ребра A1B1 а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC = 1:3. А) Докажите, что KM ⊥ AC. Б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1, если AB = 6, AC = 8 и AA1 = 3

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

$$K$$ — середина $$A_1B_1$$ , $$M$$ на $$AC$$ ( $$AM:MC=1:3$$ ). В равнобедренном основании ( $$AB=BC$$ ) и прямой призме скалярное произведение $\vec{KM}\cdot\vec{AC}=0$ (по координатам), значит $KM\perp AC$ . Что и требовалось.

Пункт б (вычисление).

Угол между $$KM$$ и плоскостью $$ABB_1$$ находим как $\arcsin\dfrac{|\vec{KM}\cdot\vec n|}{|\vec{KM}||\vec n|}$ ; при $$AB=6,AC=8,AA_1=3$$ он равен $\arcsin\dfrac{\sqrt{70}}{21}$ .

Ответ

$\arcsin \dfrac{\sqrt{70}}{21}$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Угол между прямой и плоскостью» (8)