ID: 00013364
В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный (AB = BC) треугольник ABC. Точка K — середина ребра A1B1 а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC = 1:3. А) Докажите, что KM ⊥ AC. Б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1, если AB = 6, AC = 8 и AA1 = 3
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
$K$ — середина $A_1B_1$, $M$ на $AC$ ($AM:MC=1:3$). В равнобедренном основании ($AB=BC$) и прямой призме скалярное произведение $\vec{KM}\cdot\vec{AC}=0$ (по координатам), значит $KM\perp AC$. Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
Угол между $KM$ и плоскостью $ABB_1$ находим как $\arcsin\dfrac{|\vec{KM}\cdot\vec n|}{|\vec{KM}||\vec n|}$; при $AB=6,AC=8,AA_1=3$ он равен $\arcsin\dfrac{\sqrt{70}}{21}$.
$\arcsin \dfrac{\sqrt{70}}{21}$