ID: 00013364
В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный (AB = BC) треугольник ABC. Точка K — середина ребра A1B1 а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC = 1:3. А) Докажите, что KM ⊥ AC. Б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1, если AB = 6, AC = 8 и AA1 = 3
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
K — середина A_1B_1, M на AC (AM:MC=1:3). В равнобедренном основании (AB=BC) и прямой призме скалярное произведение \vec{KM}\cdot\vec{AC}=0 (по координатам), значит KM\perp AC. Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
Угол между KM и плоскостью ABB_1 находим как \arcsin\dfrac{|\vec{KM}\cdot\vec n|}{|\vec{KM}||\vec n|}; при AB=6,AC=8,AA_1=3 он равен \arcsin\dfrac{\sqrt{70}}{21}.
Ответ: \arcsin\dfrac{\sqrt{70}}{21}.
\arcsin \dfrac{\sqrt{70}}{21}