Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00013362

Область определения: из-за $\ln x$ нужно $x>0$.

Чтобы найти точку минимума, продифференцируем функцию:

$$y'=2x-28+\dfrac{96}{x}.$$

Приведём производную к общему знаменателю, чтобы найти её нули:

$$y'=\dfrac{2x^{2}-28x+96}{x}=\dfrac{2(x-6)(x-8)}{x}.$$

Критические точки: $x=6$ и $x=8$ (обе входят в область определения $x>0$).

Определим знаки производной: при $08$ снова растёт.

В точке $x=8$ знак производной меняется с минуса на плюс — это и есть точка минимума.

$$x_{\min}=8.$$