ID: 00013362
Найдите точку минимума функции 𝑦 =$x^{2}$− 28𝑥 + 96𝑙𝑛𝑥 + 31.
Источник: ФИПИ
Область определения: из-за $\ln x$ нужно $x>0$.
Чтобы найти точку минимума, продифференцируем функцию:
$$y'=2x-28+\dfrac{96}{x}.$$
Приведём производную к общему знаменателю, чтобы найти её нули:
$$y'=\dfrac{2x^{2}-28x+96}{x}=\dfrac{2(x-6)(x-8)}{x}.$$
Критические точки: $x=6$ и $x=8$ (обе входят в область определения $x>0$).
Определим знаки производной: при $08$ снова растёт.
В точке $x=8$ знак производной меняется с минуса на плюс — это и есть точка минимума.
$$x_{\min}=8.$$